【正文】 +b4≥12(a+b)6(12)4=126(12)4=18③∵a≠b ∴①②中等號(hào)不成立∴③中等號(hào)不成立∴ 原不等式成立1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對(duì)任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯(cuò)解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說(shuō)明c存在。2ac)=3abc當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。2bc+b1倍數(shù)添項(xiàng)若不等式中含有奇數(shù)項(xiàng)的和，可通過(guò)對(duì)不等式乘以2變成偶數(shù)項(xiàng)的和，然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。2k+3〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3〈二〉4＞3③∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立由（1）（2）證明可知，對(duì)一切n≥2（n∈N），原不等式成立練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞13249構(gòu)造法根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。(1+12k+1)①要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟缺一不可。例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時(shí)用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。cos2θ=sinθ∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2xy+y2≤3(2)比值換元：對(duì)于在已知條件中含有若干個(gè)等比式的問(wèn)題，往往可先設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù)表示這個(gè)比值，然后代入求證式，即可。s2m2θ+cos2θcosθ1x，求證0＜A＜1證明： ∵x，y∈R+，且xy=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）∴ A=(secθ1secθ(tanθ+1tanθ(1)三角換元：是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問(wèn)題時(shí)，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角問(wèn)題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問(wèn)題。例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個(gè)分式商為同分母，問(wèn)題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：cc2ab＜a＜c+c2ab分析：觀察求證式為一個(gè)連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 ｜ac｜＜c2ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適?！撸╝3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對(duì)稱(chēng)性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對(duì)稱(chēng)性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）（3）若a、b同號(hào)，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過(guò)觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時(shí)，等號(hào)成立練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過(guò)的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式?；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。參考文獻(xiàn)：[1] [J]..[2] [J]..[3] 翁耀明，[J]..[4] [J]..[5] （上冊(cè)）[M]..第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯(cuò)法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時(shí)常用的方法和技巧。不等式的證明可以采用不同的方法，每種方法具有一定的適用性，并有一定的規(guī)律可循。反證法是從否定結(jié)論中開(kāi)始，到得出顯然矛盾的結(jié)論而結(jié)束；分析法則是從肯定結(jié)論成立開(kāi)始，到得出顯然成立的結(jié)果。R上述不等式對(duì)任意t,，一是前提中增加了新的條件，也就是結(jié)論的反面成立，并在證明過(guò)程中使用這個(gè)條件；二是反證法無(wú)需專(zhuān)門(mén)去證某個(gè)特定的結(jié)論，只需利用否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾即可。2k13，由 c,k206。2t3180。21k0（*）4c2180。在得到兩個(gè)相互矛盾的結(jié)果的過(guò)程中，一是根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，二是由條件進(jìn)行推理，兩個(gè)方面缺一不可。k=1n與 ④ 矛盾故r163。yk=12k，從而ab④另一方面，由柯西不等式知，ab=229。229。xk=1k，則a(2229。k=1nn假設(shè)r229。kk239。 n239。239。229。(xk=1k+yki)2比較兩邊的實(shí)部與虛部，有n236。zk=1nn2k，(a,b206。R，(k=1,2,L,n)r是 z12+z22+L+： r163。2ak 得 ap+1ap179。2ak(k=2,3,L,n1).求證： a1，a2，L，： 假設(shè)ap是數(shù)列a1，a2，L，an中出現(xiàn)的第一個(gè)正數(shù)，則 P1且 ap1163。0，相乘得aAcCbB，因?yàn)閍C+cA=(aC+cA)2=4b2B24aAcC，整理得(aCcA)20，這與“任何實(shí)數(shù)的平方非負(fù)”矛盾.（二）、推理的結(jié)果與已知條件相矛盾例6已知數(shù)列a1，a2，L，an(n179。： 假設(shè)a1，a2，L，an中有正數(shù)且aACB0，則 ACB179。這種從證明矛盾命題（即命題的否定）為假進(jìn)而證明命題為真的證明方法叫做反證法。z1+z2+z3 =(a+b+c)(1+i)=+i(a+b+c)=a+b+c)、反證法反證法是數(shù)學(xué)證明的一種重要方法。a+b+c).此題用別的方法較繁，若能轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)模的問(wèn)題，就變得十分簡(jiǎn)捷。（四）、構(gòu)造復(fù)數(shù)證明不等式，可聯(lián)想構(gòu)造復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)的模與根式的表達(dá)式形式相同，然后再利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)加以證明。PC，即PQ179。例3已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=1，求證：(a+2)+(b+2)179。a1+a+b1+b 可用類(lèi)似方法證明。（二）、構(gòu)造函數(shù)證明不等式根據(jù)欲證不等式結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)加以證明。163。a，0163。0 222a 322同理可證： 0163。R，所以 D=4(az)4(2za)179。3證明：由已知的兩個(gè)等式中消去x，得 12a222=0(ayz)+y+z=a 222。a，0163。22212a(a0).2222a，o163。（一）、構(gòu)造方程證明不等式某些不等式問(wèn)題，可以根據(jù)它的條件或結(jié)論的特征構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，然后利用根的判別式來(lái)證明。當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題需要解決時(shí)，常常通過(guò)深入分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征和內(nèi)在規(guī)律，概括抽象構(gòu)造出一個(gè)新的關(guān)系，使問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之有關(guān)的函數(shù)、方程和圖形等，再進(jìn)行求解。下面介紹幾種證明不等式的方法。關(guān)鍵詞： 不等式 ；證明方法；分析問(wèn)題引言證明不等式一般沒(méi)有固定的程序，方法因題而異，靈活多變，技巧性強(qiáng)。第一篇：不等式證明的幾種方法不等式證明的幾種方法劉丹華余姚市第五職業(yè)技術(shù)學(xué)校摘要： 不等式的證明可以采用不同的方法，每種方法具有一定的適用性，并有一定的規(guī)律可循。通過(guò)對(duì)不等式證明方法和例子的分析和總結(jié)，可以掌握其中的要領(lǐng)，靈活運(yùn)用。有時(shí)一個(gè)不等式的證明方法不止一種，而一種證法又可能要用到好幾個(gè)技巧，但基本思想總是一樣的，即把原來(lái)的不等式變?yōu)槊黠@成立的不等式。一、構(gòu)造法構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種富有創(chuàng)造性的思維方法。構(gòu)造法也是數(shù)學(xué)解題中的一種重要的思維方法。