不等式證明的若干種方法_畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-10-04 18:40 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 bba baba ? . 分析： 對(duì)于含有冪指數(shù)類的用作 商法 證明 因?yàn)? 0??ba ，所以 1?ba ， 0??ba . 而 1?????????baabbababa ba，故 abba baba ? ． 故原不等式成立。 綜合法 綜合法就是從已知式證明過(guò)的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推出欲證的不等式，通過(guò)一系列已 確定的命題（包含不等式的性質(zhì)，已掌握的重要不等式）逐步推演，從而得到所要求證的不等式成立，這種方法叫做綜合法。 例 已知 ab? 且 ,ab R?? 求證： 3 3 2 2a b a b ab? ? ?． 證： ab? 所以 2 2 2( ) 0 2 0a b a a b b? ? ?? ? ? ? 8 22a ab b ab?? ? ? ?兩邊同時(shí)乘 ab? 得 22( ) ( ) ( )a a b b a b a b a b? ? ? ? ?即 3 3 2 2a b a b ab? ? ?． 故原不等式成立。 分析法 從求證的不等式出發(fā)分析不等式成立的條件，把證明這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為判定使這個(gè)不等式成立的條件是否具備的問(wèn)題。如果能夠肯定這些條件都以具備，那么就可以判定這個(gè)不等式成立，這種證明方法叫做分析法。 例 求證： 3 6 2 2 7? ? ?． 證即： 因?yàn)?9 6 0 , 8 7 0? ? ? ? 因?yàn)闉榱俗C明原不等式成立，只需證明 22 )78()69( ??? 即 1 5 2 5 4 1 5 2 5 6? ? ? 即 54 56? 即 54 56? 故原不等式成立。 換元法 換元法實(shí)質(zhì)上就是變量代換法，即對(duì)所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達(dá)到化難為易的目的。 例 － 1≤ 21 x? － x≤ 2 ． 證明：∵ 1－ x2 ≥0， ∴ － 1≤x≤1，故可設(shè) x = cos? ，其中 0≤? ≤? ． 則 21 x? － x = ?2cos1? － cos? = sin? － cos? = 2 sin(? － 4? )， ∵ － 4? ≤ ? －4? ≤ 43? ， ∴ － 1≤ 2 sin(? － 4? )≤ 2 ，即 － 1≤ 21 x? － x≤ 2 ． 故原不等式成立。 增量代換法 在對(duì)稱式 (任意互換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變 )和給定字母順序 (如 a＞ b＞ c)的不等式， 常用增量進(jìn)行代換，代換的目的是減少變量的個(gè)數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。 9 例 已知 a， b?R，且 a＋ b = 1，求證： (a＋ 2)2 ＋ (b＋ 2)2 ≥225 ． 證明：∵ a， b?R，且 a＋ b = 1，∴設(shè) a =21 ＋ t， b=21 － t， (t?R) 則 (a＋ 2)2 ＋ (b＋ 2)2 = (21 ＋ t＋ 2)2 ＋ (21 － t＋ 2)2 = (t＋ 25 )2 ＋ (t－ 25 )2 = 2t2 ＋225 ≥225 ． ∴ (a＋ 2)2 ＋ (b＋ 2)2 ≥225 ． 故原不等式成立。 反證法 反證法的原理是：否 定之否定等于肯定。反證法的思路是“假設(shè) ?矛盾 ?肯定”，采用反證法時(shí)，應(yīng)從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過(guò)程中，每一步推理必須是正確的。 例 已知 33 2 , ( , )a b a b R? ? ? 求證 ： 2ab??． 證：假設(shè) 2ab??成立則 3( ) 8ab??． 即 3 3 2 23 3 8a b a b a b? ? ? ?332ab?? ( ) 2ab a b? ? ?． 2 2 3 3( ) ( ) 2a b a a b b a b? ? ? ? ? ?． 22( ) ( ) ( )a b a b a b a a b b? ? ? ? ? ?． 2ab??． 22ab a ab b? ? ? ?由此得 2( ) 0ab??，這是不可能的， 得出矛盾。 2ab? ? ? ． 故原不等式成立。 放縮法 放縮法是證明不等式的一種特殊的方法。從不等式的一邊入手，逐漸放大或縮小不等式，直到不等式的另一邊，這種方法叫做放縮法。 例 求證：2 2 2 21 1 1 1 21 2 3 n? ? ? ? ? *()nN? 證： * ,2k N k n? ? ?有21 1 1 1( 1 ) 1k k k k k? ? ???． 10 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 11 [ ( ) ( ) ( ) ]1 2 3 1 2 2 3 1n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??111 (1 ) 2 2nn? ? ? ? ? ?． 所以 2 2 2 21 1 1 1 21 2 3 n? ? ? ? ?． 故原不等式成立。 構(gòu)造法 構(gòu)造法是通過(guò)類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化，合理的構(gòu)造函數(shù)模型，從而使問(wèn)題迎刃而解。過(guò)程簡(jiǎn)單，一目了然。 例 已知三角形 ABC 的三邊長(zhǎng)是 a,b,c,且 m為正數(shù)，求證：mc cmb bma a ????? . 證明：設(shè) ),0(,)( ????? xmx xxf 顯然函 數(shù) mx xxf ??)( 在 ),0( ???x 是增函數(shù)。 ?a,b,c 是三角形 ABC 的三邊長(zhǎng) . ? cba ?? ， )()( cfbaf ??? ， 即 mc cmba ba ???? ? ， 又 mba bamba bmba amb bma a ?? ???????????? ． ????? mb bma a mc cmba ba ???? ? ． ? mc cmb bma a ????? . 故原不等式成立。 數(shù)學(xué)歸納法 證明有關(guān)自然數(shù) n 的不等式，可以采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。 n 取第一個(gè)數(shù)值 0n 0( *)nN? 時(shí)，不等式成立， n 取某一自然數(shù) 0()k k n? 時(shí)，不等式成立。（歸納假設(shè)），由此 推演出 n 取 1k? 時(shí)，此不等式成立。 11 例 求證： 1 1 11223 nn? ? ? ???? ? *()nN? 證：（ 1）當(dāng) 1n? 時(shí)，左邊 =1，右邊 =2 不等式顯然成立。
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