均值不等式的證明方法(編輯修改稿)
2025-10-27 15:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 明一、已知x,y為正實數(shù)，且x+y=1求證xy+1/xy≥17/41=x+y≥2√(xy)得xy≤1/4而xy+1/xy≥2當且僅當xy=1/xy時取等也就是xy=1時畫出xy+1/xy圖像得01時，單調(diào)增而xy≤1/4∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得證繼續(xù)追問：拜托，用單調(diào)性誰不會，讓你用均值定理來證補充回答：我真不明白我上面的方法為什么不是用均值不等式證的法二：證xy+1/xy≥17/4即證4(xy)178。17xy+4≥0即證(4xy1)(xy4)≥0即證xy≥4，xy≤1/4而x,y∈R+，x+y=1顯然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得證法三：∵同理0xy+1/xy17/4=(4x178。y178。417xy)/4xy=(14xy)(4xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4試問怎樣叫“利用均值不等式證明”，是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!二、已知abc，求證：1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)0ac=(ab)+(bc)≥2√(ab)*(bc)于是ca≤2√(ab)*(bc)即：1/(ca)≥1/【2√(ab)*(bc)】那么1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)≥1/(ab)+1/(bc)1/【2√(ab)*(bc)】≥2/【√(ab)*(bc)】1/【2√(ab)*(bc)】=(3/2)/【2√(ab)*(bc)】0三、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n平方平均數(shù)：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即為均值不等式。概念：調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n平方平均數(shù)：Qn=√這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qnaa…、an∈R+，當且僅當a1=a2=…=an時勸=”號均值不等式的一般形式：設(shè)函數(shù)D(r)=^(1/r)(當r不等于0時)。(a1a2...an)^(1/n)(當r=0時)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))則有：當r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡化，有一個簡單結(jié)論，中學(xué)常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√方法很多，數(shù)學(xué)歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個輔助結(jié)論。引理：設(shè)A≥0，B≥0，則(A+B)^n≥A^n+nA^(n1)B。注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0,有興趣的同學(xué)可以想想如何證明(用數(shù)學(xué)歸納法)。原題等價于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。當n=2時易證。假設(shè)當n=k時命題成立，即((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么當n=k+1時，不妨設(shè)a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，則ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。設(shè)s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)={s/k+/}^(k+1)≥(s/k)^
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