均值不等式的證明方法-展示頁(yè)
2024-10-27 15:16本頁(yè)面
【正文】 其實(shí)由均值不等式，以及函數(shù)f(x)=ln因此e+1e1xx是在R上單調(diào)遞減RSTUV179。v，求證下述不等式成立：ii213。t,Uii=1nn229。r,Sii=1nn229。i163。n1Gn)n1G即229。i=1n11ai11ai+(2n)n11G179。因此229。+11a22n+11a3+11a4179。p179。p(1+q)179。p2q+pq179。(1q)(2p)179。(1a1a2)179。n1+(r1r2...rn)n這2個(gè)例子是在量在不同范圍時(shí)候得到的結(jié)果，方法正是運(yùn)用柯西的歸納法：給出例1的證明：當(dāng)n=2時(shí)11a1+11a2179。1(i=1,2,...,n)證明229。i=111ai179。nx1x2..xnA2nn=(x1x2..xn)2An1n2n即得到x1+x2+...+xnn179。nx1x2...x2n令x1=x1,...,xn=xn。4abcd+4efgh179。2ab+2cd179。Gn: 一些大家都知道的條件我就不寫(xiě)了x1+x2+...+xnn179。第一篇：均值不等式的證明方法柯西證明均值不等式的方法 by zhangyuong（數(shù)學(xué)之家）本文主要介紹柯西對(duì)證明均值不等式的一種方法，這種方法極其重要。一般的均值不等式我們通?？紤]的是An179。x1x2...xn我曾經(jīng)在《幾個(gè)重要不等式的證明》中介紹過(guò)柯西的這個(gè)方法，現(xiàn)在再次提出：二維已證，四維時(shí)：a+b+c+d=(a+b)+(c+d)179。4八維時(shí):(a+b+c+d)+(e+f+g+h)179。8abcdefghabcd=4abcd這樣的步驟重復(fù)n次之后將會(huì)得到x1+x2+...+x2nn179。xn+1=xn+2=...=x2=nx1+x2+...+xnn=A由這個(gè)不等式有A=nA+(2n)Ann179。nx1x2...xn這個(gè)歸納法的證明是柯西首次使用的，而且極其重要，下面給出幾個(gè)競(jìng)賽題的例子：例1：n若0ai1(i=1,2,...,n)證明229。n1(a1a2...an)n例2：n若ri179。i=11ri+1179。219。2(1a1)(1a2)設(shè)p=a1+a2,q=219。2(1p+q)219。2q219。2q(q+1)219。2q，而這是2元均值不等式因此11a1179。+此過(guò)程進(jìn)行下去n179。i=11ai1(a1a2...a2n)2n令an+1=an+2=...=a2n=(a1a2...an)n=Gn有229。nn2nn=n1(GG179。i=1例3：已知5n個(gè)實(shí)數(shù)ri,si,ti,ui,vi都1(1163。n),記R=T=n1nn229。sii1nn229。uii,V=1nn229。i=1（risitiuivi+1risitiuivi1)179。=（RSTUV+1RSTUV1)163。(rstuvi=1iiiirisitiuivi+1i1)179。(xi=1xi+1ix2+1x21n1)179。(令A(yù)=x1+1x11)（）179。
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