均值不等式的證明方法-在線瀏覽
2024-10-27 15:16本頁面
【正文】 A(x1x2+1+x1+x2)+(x1+x2+1+x1x2)2A(x1x2+x1+x2+1)179。(A+1)(x1x2+1)179。（i=1xi+1xi1n)（GGGGnnnn+112n2n)，G=n=（G+1G1n)因此213。所以原題目也證畢了這種歸納法威力十分強(qiáng)大，用同樣方法可以證明Jensen:f(x1)+f(x2)179。2f（x1+x2)+2f（x3+x4)179。f（x1+x2+...+x2nn),令x1=x1,...,xn=xn。f（nA+(2n)An)=f(A)所以得到f(x1)+f(x2)+...+f(xn)n179。Gn163。QnL、anaa206。2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))，a,b02ab(4)對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有a(ab)179。2ab179。ab+bc+aca+b+c179。引理：設(shè)A≥0，B≥0，則(A+B)179。當(dāng)n=2時(shí)易證；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，不妨設(shè)ak+1是則設(shè)a1,a2,L,ak+1中最大者，kak+1179。17xy+4≥0即證(4xy1)(xy4)≥0即證xy≥4，xy≤1/4而x,y∈R+，x+y=1顯然xy≥4不可能成立∵1=x+y≥2√(xy)∴xy≤1/4，得證法三：∵同理0xy+1/xy17/4=(4x178。417xy)/4xy=(14xy)(4xy)/4xy≥0∴xy+1/xy≥17/4試問怎樣叫“利用均值不等式證明”，是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!二、已知abc，求證：1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)0ac=(ab)+(bc)≥2√(ab)*(bc)于是ca≤2√(ab)*(bc)即：1/(ca)≥1/【2√(ab)*(bc)】那么1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)≥1/(ab)+1/(bc)1/【2√(ab)*(bc)】≥2/【√(ab)*(bc)】1/【2√(ab)*(bc)】=(3/2)/【2√(ab)*(bc)】0三、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n平方平均數(shù)：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即為均值不等式。(a1a2...an)^(1/n)(當(dāng)r=0時(shí))(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))則有：當(dāng)r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，中學(xué)常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√方法很多，數(shù)學(xué)歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個(gè)輔助結(jié)論。注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0,有興趣的同學(xué)可以想想如何證明(用數(shù)學(xué)歸納法)。當(dāng)n=2時(shí)易證。那么當(dāng)n=k+1時(shí)，不妨設(shè)a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，則ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。用歸納假設(shè)下面介紹個(gè)好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函數(shù)f(x)，x1,x2,...xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn)，則有：f≥1/n*設(shè)f(x)=lnx，f(x)為上
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