【正文】 我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三等”，同時還要注意一些變形技巧，靈活運用均值不等式. 利用均值不等式求最值的技巧　　均值不等式 ( a 0 , b 0 , 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時等號成立) 是一個重要的不等式,利用它可以求解函數(shù)最值問題. 對于有些題目,可以直接利用公式求解. 但有些題目必須進行必要的變形才能利用,下面是一些常用的變形技巧. 　配湊1) 湊系數(shù)例1 　當(dāng)0 x 4 時,求 = x (8 2 x) .解析　由0 x 4 , 有8 2 x 0 , 利用均值不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題為2 個式子的積的形式,但其和不是定值. 注意到2 x + (8 2 x) = 8 為定值,故只需將y = x (8 2 x) 湊上一個系數(shù)即可. ,當(dāng)且僅當(dāng)2 x = 8 2 x 即x = 2 時取等號,所以當(dāng)x = 2時, y = x (8 2 x) 的最大值為8.點評　本題無法直接運用均值不等式求解,但湊上系數(shù)后即可得到和為定值, 就可利用均值不等式求得最大值.2) 湊項例2 　已知 ,求函數(shù)的最大值.解析　由已知4 x 5 0 ,首先調(diào)整符號,因為不是定值,故需對4 x 2 進行湊項得到定值. 因為,所以5 4 x 0 ,.當(dāng)且僅當(dāng)即x = 1 時等號成立.點評　本題需要調(diào)整項的符號,又要配湊項的系數(shù),使其積為定值.3) 　分離例3 　求的值域.解析　本題看似無法運用均值不等式, 如將分子配方湊出( x + 1) ,再將其分離..當(dāng)x + 1 0 ,即x 1 時, (當(dāng)且僅當(dāng)x = 1 時取“ = ”號) .當(dāng)x + 1 0 ,即x 1 時,(當(dāng)且僅當(dāng)x = 3 時取“= ”號) .故所求的值域為( ∞,1 ] ∪[9 , + ∞) .點評　分式函數(shù)求最值,通?；?( A 0 , m 0 , g ( x) 恒正或恒負(fù)) 的形式,然后運用均值不等式來求.鏈接練習(xí)1. 某公司一年購買某種貨物400 t ,每次都購買x t ,運費為4 萬元/ 次,一年的總存儲費用為4 x 萬元. 要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x = ＿t .2. 若a、b、c 0 且a( a + b + c) + bc = ,則2 a + b + c的最小值為( 　　) .A 　 。 C 　 。B 　 的內(nèi)切圓的圓心必在直線x = b 上。D 　 的內(nèi)切圓必通過點( a ,0) .4. 設(shè)a 0 , b 0 ,則下列不等式中不恒成立的是( 　　) .A 。C 。 　2. 5 。 　4. 4/ 9 。 漏記“一正”條件致誤 例1: 求函數(shù)的值域。所以在運用公式前, 應(yīng)先檢查公式的條件是不是已滿足, 若不滿足, 應(yīng)創(chuàng)造條件應(yīng)用公式或改用其它途徑去解決問題。錯解: 故, S 取得最大值8根據(jù)均值不等式取等號的充分必要條件是每個數(shù)皆相等, 否則: 則: 2a=b,2b=a,從而a=b=0 這與已知a0, b0,a+b=1 相矛盾, 所以 事實上: 其中等號在時取到。例3: 的鋼條制作長方體容器框架, 米, 當(dāng)長方體的高為多少時, 容器的容積最大? ( 2002 年數(shù)學(xué)高考題)錯解: 設(shè)則 ∴ 是定值∴ 立方米事實上, x+= 2x=x, 在這樣的等式下x 值是不存在的, 所以,結(jié)果為錯誤的。 是定值 且3x=2x+1=8 5x 的值存在, 為x=1, 時, 長方體容器容積最大立方米。錯解: 如圖所示, 設(shè)AB 中點為D, 連結(jié)CD, 令A(yù)B=2x,則SC=X 顯然AC=BC ∴CD 是等腰三角形ABC 底邊上的高,即: 當(dāng) 即時, 三棱錐體積V 取得最大值, V 最大這里得出的結(jié)果是對的, 但推理的依據(jù)卻是錯的。即不滿足‘一正, 二定, 三相等, 這個條件?？梢姰?dāng)即時三棱錐體積V 取得最大值。以上幾例僅是均值不等式應(yīng)用中的幾種常見錯誤, 僅供老師們在教學(xué)中參考使用, 以引導(dǎo)學(xué)生找出錯誤所在, 并且弄清產(chǎn)生錯誤的原因, 從而提高糾正錯誤和正確應(yīng)用均值不等式的能力。 (2)定。在此運用過程中, 往往需要對相關(guān)對象進行適當(dāng)?shù)胤糯?、縮小, 或不等式之間進行傳遞等變形, 在此過程中, 學(xué)生常常因為忽視條件成立而導(dǎo)致錯誤, 而且錯誤不易察覺。錯解因為所以評注雖然的積是常數(shù), 但x 1 不一定是正數(shù), 因此解法是錯誤的。 當(dāng)x1 時, , 所以y≤ 1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時取 等號,所以原函數(shù)的值域為 忽視均值不等式中的等號成立條件致錯例2 求的最小值。評注在y≥2 中, 當(dāng)且僅當(dāng), 即, 這是不可能的, 所以等號不成立,故y 的最小值不是2。例3 若正數(shù)x、y 滿足2x+y=1, 求的最小值。評注這里中, 當(dāng)且僅當(dāng)2x=y 時取“ =”號。正確解, 當(dāng)且僅當(dāng), 即時(此時)取“ =”號, 故的最小值是。錯解 因, 所以, 故的最大值是。故的最大值是 (本題也可用三角代換解。例5 若正數(shù)x、y 滿足x+2y=6, 求xy 的最大值。評注 初看起來, 很有道理, 其實在用均值不等式求最值時, 在各項為正的前提下, 應(yīng)先考慮定值, 再考慮等號是否成立。這樣經(jīng)過多次反復(fù), 會收到良好的效果。湖北卷) 已知, 則 有( 　　)(A) 最大值 (B) 最小值 (C) 最大值1. (D) 最小值1.分析　本題看似無法使用均值不等式, 但對函數(shù)式進行分離,便可創(chuàng)造出使用均值不等式的條件.解　. 當(dāng)且僅, 即x = 3 時等號成立. 故選(D) . 　乘1例7 　已知x 0 , y 0 , ,求x + y 的最小值.分析　若直接運用均值不等式, 則需使用兩次均值不等式,即由,得xy≥16 ,再由,得x + y ≥8 ,但此時兩次均值不等式中等號成立的條件不一致,從而x + y ≥8 中等號不能成立. 但若將x + y 乘1 ,則只需使用一次均值不等式即可.解　當(dāng)且僅當(dāng),且 ,即x = 3 , y = 6時等號成立,故 　取倒數(shù)例8 　已知x 0 ,a ,b 為正常數(shù), 求 的最大值.解析　 , 當(dāng)且僅當(dāng), 　三角代換例9 　求 的最小值.分析不是定值,但由0 x 2 可用三角代換來創(chuàng)造積為定值.解　∵0 x 2 , ∴可設(shè) ,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,故 　整體代換例10 　已知a ，b, c 為△A B C 的三邊長,求的最小值.分析　本題似乎不能運用均值不等式, 但通過整體代換便可創(chuàng)造出使用均值不等式的條件.解　令b + c a = x , c + a b = y , a + b c = z ,則x , y , z 0 ,且, , .∴當(dāng)且僅當(dāng)x = y = z 即a = b = c 時等號成立. 故.評注　通過換元, 把陌生的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為重要不等式的形式,證題思路自然流暢. 　對偶代換例11 　已知,且x + 2 y = 1 ,求的最小值.證明　∵, x + 2 y = 1 , ∴ 可設(shè), ,則當(dāng)且僅當(dāng), 即 , , 時等號成立. 故的最小值為. 　公差代換例12 　若a , b 是正實數(shù), 且a + b = 1 , 求 的最小值.解　∵a + b = 1 , ∴a , , b 是等差數(shù)列,設(shè)公差為d ,則,∴∴ d = 0 即a = b =時, 有最小值9.　用向量例13 　已知 , ,求ax + by的最大值.分析　直接運用均值不等式時,等號成立的條件為a = x 且b = y ,從而 ,即4 = 9 ,顯然等號不能成立,故不能直接運用均值不等式, 但此時利用向量則可迅速求出最值.解法1 　令m = ( a , b) , n = ( x , y) , 則由內(nèi)積的性質(zhì)m | n| ,得ax + by ≤6 ,當(dāng)且僅當(dāng)m與n 同向即時等號成立,故ax + by 的最大值為6.本題也可用柯西不等式求解.解法2 　由柯西不等式 ,得 ,即| ax + by| ≤6 ,故ax + by 的最大值為6. 　用函數(shù)的單調(diào)性例14 　求函數(shù)的最小值.分析　直接運用均值不等式 時, 等號成立的條件為, 即,