淺談均值不等式的教學(xué)-在線瀏覽
2024-11-06 07:26本頁面
【正文】 a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, 又 ≧a，b，c不全相等，? 上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立，因此a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc。, y∈R+且9x+16y＝144，求xy的最大值。求積的最大值，可考慮用均值不等式求解。例4．在ΔABC中，若三邊a，b，c滿足條件(a+b+c)3=27abc，試判定三角形ABC的形狀。解：≧a0, b0, c0，故有不等式a+b+c≥3abc（見閱讀材料），即(a+b+c)y1z≥27abc，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，上式等號(hào)成立，故三角形為等邊三角形。解：由題設(shè)得(x+)+(y+)+(z+)=6≧ x,y,z0, ?, x+≥2 ,y+ ≥2 , z+ ≥2?.(x+)+(y+)+(z+)≥6此不等式等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)上述三個(gè)不等式的等號(hào)同時(shí)成立，即x= ,y= , z=?x2=1,y2=1, z2=1, ?x2+y2+z2=：均值不等式給出了相等、不等的界，即等號(hào)成立的條件。同學(xué)們要學(xué)會(huì)觀察已知和未知的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)字特征，認(rèn)清其區(qū)別、聯(lián)系，聯(lián)想相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)、方法，尋找解決問題的突破口。x(x+4)(x+9)x2+13x+3636錯(cuò)解：y===13+x+≥xxx當(dāng)且僅當(dāng)x =36即x時(shí)取等號(hào)。(x+4)(x+9)的定義域?yàn)?≦,0)∪(0,+≦)，上述解題過程中應(yīng)用x分析：函數(shù)y=了均值不等式，卻忽略了均值不等式成立的條件，因而導(dǎo)致錯(cuò)誤。xx所以當(dāng)x=6時(shí)，ymin =25當(dāng)x＜0時(shí)，x＞0,36＞0 x因?yàn)?x)+(3636)≥=12當(dāng)且僅當(dāng)x=即xx時(shí)取等號(hào)。x2錯(cuò)解：因?yàn)?x＞0, y=4x +≥x2所以當(dāng)且僅當(dāng)4x=9即y minx肆分析：錯(cuò)誤的原因是4x與9的積不是定值。x2所以當(dāng)x=ymin（三）、忽略“＝”號(hào)成立的可能性∈R)的最小值。1t正解：令≥2)，則 y=t+(t≥2)又因?yàn)閠≥1時(shí)，y=t+是遞增的。1x1t：x,y∈R+，且x+4y=1，求+ 的最小值。1x1y分析：錯(cuò)誤的原因是等號(hào)取不到。1x正解：因?yàn)? =(x+4y)(+)=5+1y1x1y4yx+ ≥xy當(dāng)且僅當(dāng)4yx11=，即x=,y=時(shí)等號(hào)成立。3161x1y由此可見，在應(yīng)用均值不等式求值時(shí)，一定要注意：一正（各項(xiàng)或各因式均為正），二定（和或積為定值），三相等(各項(xiàng)或各因式能取得相等的值)，若不具備這三個(gè)條件，則需作適當(dāng)?shù)淖冃?，以滿足上述前提，減少錯(cuò)誤發(fā)生的可能性。2并推導(dǎo)出式中等號(hào)成立的條件例求函數(shù)f(x)=x22x+3x(xf0)的最值，以及此時(shí)x的值精煉鞏固：=t2 0,則函數(shù)f(t)4t+1的最小值為此時(shí)t的值 ,b滿足a+b=1,則ab有最值為點(diǎn)撥提高：總結(jié)本節(jié)課的你的收獲。3,則函數(shù)f(x)=(x3)+、b206。4課堂小測(cè)：.已知正數(shù)a,b滿足ab=1,則1a+1b有最值為。R+,求證：(a+11a)(b+b)179。3,則函數(shù)f(x)=(x3)+、b206。4課堂小測(cè)：.已知正數(shù)a,b滿足ab=1,則1a+1b有最值為。R+,求證：(a+11a)(b+b)179。；2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)取等號(hào).（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，M21）.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝：和定積最大。幾個(gè)重要的不等式（1）a+b179。2(a,b同號(hào)）aba2+b2a+b2a+b2179。R）（3）ab163。R）（4）222三、學(xué)情自測(cè)已知a179。0，且a+b=2，則（）112222A、ab163。C、a+b179。3 22給出下列不等式：①a+1179。2；③x2+2179。x長(zhǎng)為24cm的鐵絲做成長(zhǎng)方形模型，則模型的最大面積為___________。x+12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b0, 則當(dāng)a = ______時(shí),考向二、利用均值不等式證明簡(jiǎn)單不等式例已知x0,y0,z0，求證：（變式訓(xùn)練已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a+b+c179。8 xxyyzz1(a+b+c)2179。（1）現(xiàn)有可圍36米長(zhǎng)鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎
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