淺談均值不等式的教學(xué)(完整版)
【正文】 x1y4yx+ ≥xy當(dāng)且僅當(dāng)4yx11=，即x=,y=時(shí)等號(hào)成立。x2所以當(dāng)x=ymin（三）、忽略“＝”號(hào)成立的可能性∈R)的最小值。x(x+4)(x+9)x2+13x+3636錯(cuò)解：y===13+x+≥xxx當(dāng)且僅當(dāng)x =36即x時(shí)取等號(hào)。例4．在ΔABC中，若三邊a，b，c滿足條件(a+b+c)3=27abc，試判定三角形ABC的形狀。當(dāng)要證的不等式具有上述特征時(shí)，考慮用均值不等式證明。例1．已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)：觀察要證不等式的兩端都是關(guān)于a，b，c的3次多項(xiàng)式，左側(cè)6項(xiàng)，右側(cè)6項(xiàng)，左和右積，具備均值不等式的特征。分析：(a+b+c)3=27abc，具有三元均值不等式的結(jié)構(gòu)特征，且屬均值不等式的特貳例(取等號(hào)情形)，所以有下面解法。叁所以當(dāng)時(shí)，y的最小值為25，此函數(shù)沒(méi)有最大值。錯(cuò)解：因?yàn)椤菟詙min =2，即，找不到這樣的x。xy36所以當(dāng)x=,y=時(shí)，+ 的最小值為9。3,則函數(shù)f(x)=(x3)+、b206。4第三篇：均值不等式及其應(yīng)用教師寄語(yǔ)：一切的方法都要落實(shí)到動(dòng)手實(shí)踐中高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案均值不等式及其應(yīng)用一．考綱要求及重難點(diǎn)要求：（?。?，難度為中低檔題，．考點(diǎn)梳理a+：179。()（a,b206。2a21179。ab+bc+ac3考向三、均值不等式的實(shí)際應(yīng)用例小王于年初用50萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一輛大貨車(chē),第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬(wàn)元,從第二年起,每年都比上一年增加支出2萬(wàn)元,考慮將大貨車(chē)作為二手車(chē)出售,若該車(chē)在第x年年底出售,其銷(xiāo)售價(jià)格為25x萬(wàn)元(國(guó)家規(guī)定大貨車(chē)的報(bào)廢年限為10年).(1)大貨車(chē)運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?該車(chē)運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出?(2)在第幾年年底將大貨車(chē)出售,能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大?)(利潤(rùn)=累計(jì)收入+銷(xiāo)售收入總支出)變式訓(xùn)練：如圖：動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。a恒成立，則a的取值范圍是___________。二、教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：（1）掌握均值不等式以及其成立的條件；（2）能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。此外還將繼續(xù)采用個(gè)人和小組積分法，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與的熱情。① 適用范圍a,b206。等待兩名同學(xué)做完后，適時(shí)終止討論，學(xué)生各就各位。待學(xué)生討論過(guò)后，先通答案，a=2時(shí)扇形面積最大值為ctanx(0xp)。R且a+b=1,求a最大值及此時(shí)a,、a0,b0,且求函數(shù)f(x)=1a+9b=1,求a++1x+1(x1)的最小值。An163。abc(10)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有均值不等式的證明：方法很多，數(shù)學(xué)歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個(gè)輔助結(jié)論。An+nA(n1)Bn注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數(shù)學(xué)歸納法)。R+，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=L=an時(shí)取“=”號(hào)僅是上述不等式的特殊情形，即D(1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，中學(xué)常用均值不等式的變形：(1)對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有a2+b2179。七、板書(shū)設(shè)計(jì)：由于本節(jié)采用多媒體教學(xué)，板書(shū)比較簡(jiǎn)單，且大部分是學(xué)生的展示。（四）本節(jié)小結(jié)小結(jié)本節(jié)課主要內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)，由學(xué)生總結(jié)，教師完善，不外乎： a+b179。其次，老師根據(jù)剛才巡視掌握的情況，結(jié)合多媒體進(jìn)行有針對(duì)性的講解（重點(diǎn)應(yīng)強(qiáng)調(diào)均值定理的幾何解釋：半徑不小于半弦，以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過(guò)程，使定理“形化”），進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)定理的認(rèn)識(shí)及應(yīng)用能力，初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”第二步：課內(nèi)探究（二）精講點(diǎn)撥 ：求函數(shù)f(x)=2x+x3x(x0)的最大值，及此時(shí)x的值。=2對(duì)嗎？② 等號(hào)成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)__________時(shí)，________=_________ ③ 語(yǔ)言表述：兩個(gè)___數(shù)的____平均數(shù)_____它們的_______平均數(shù) ④ 把不等式_________________又稱為均值或________不等式 ⑤ 數(shù)列觀點(diǎn)：兩個(gè)正數(shù)的______中項(xiàng)不小于它們的_____中項(xiàng)。充分體現(xiàn)學(xué)生是主體，具體如下：課前預(yù)習(xí)學(xué)會(huì)；、明確重點(diǎn)、解決疑點(diǎn)；分組討論積
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