導數證明不等式的幾個方法(編輯修改稿)
2024-10-28 01:40 本頁面
【文章內容簡介】 函數f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，因而在閉區(qū)間[0,1]上有最小值和最大值。由于函數f(x)內只有一個駐點，沒有不可導點，又函數f(x)在駐點x=1和2111p1)=p1,f(0)=f(1),區(qū)間端點(x=0和x=1)的函數值為f()=)p+(1所以22221f(x)在[0,1]的最小值為p1，最大值為1，從而對于[0,1]中的任意x有211163。f(x)163。1163。xp+(1x)p163。1。，既有p1p1224．利用函數的泰勒展式證明不等式若函數f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n+1)階的各階導數，又在x0處有n階導數f(n)(x0)，則有展式： f39。(x0)f39。39。(x0)fn(x0)2(xx0)+(xx0)+L(xx0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+1!2!n!在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止絝39。(0)f39。39。(0)2fn(0)nf(x)=f(0)+(x)+(x)+L(x)+Rn(x)1!2!n!在上述公式中若Rn(x)179。0(或163。0)則可得f39。(0)f39。39。(0)2fn(0)nf(x)179。f(0)+(x)+(x)+L(x)，1!2!n!f39。(0)f39。39。(0)2fn(0)n(x)+(x)+L(x)?；騠(x)163。f(0)+1!2!n!帶有拉格朗日余項的泰勒公式的實質是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個定量估計式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復雜的極限計算中有廣泛的應用。用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。(x)滿足：（1）在區(qū)間[a,b]上有二階導函數f39。39。(x)，（2）f39。(a)=f39。(b)=0，則在區(qū)間(a,b)內至少存在一點c，使f39。39。(c)179。4f(b)f(a)。2(ba)證明：由f(x)在x=a和x=b處的泰勒公式，并利用f39。(a)=f39。(b)=0，得f(x)=f(a)+f39。39。(x)(xa)22!f39。39。(h)f(x)=f(b)+(xb)2,于是2!a+bf39。39。(x)(ba)2abf()=f(a)+(ax),22!42a+bf39。39。(h)(ba)2abf()=f(b)+(ah),22!42f39。39。(x)f39。39。(h)(ba)2相減，得f(b)f(a)=,244f(b)f(a)1(ba)2即=f39。39。(x)f(h),(ba)224當f39。39。(x)179。f39。39。(h)時，記c=x否則記c=h,那么f39。39。(c)179。4f(b)f(a)(abc)(ba)2參 考 文 獻《數學分析》上冊，高等教育出版社，1990.[1]鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，[2]趙煥光，林長勝編《數學分析》上冊，四川大學出版社，2006。[3]歐陽光中，姚允龍，周淵編《數學分析》上冊，復旦大學出版社，2004.[4]華東師范大學數學系編《數學分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.第四篇：利用導數證明不等式利用導數證明不等式例1．已知x0，求證：xln(1+x)分析：設f(x)=x－lnx。x206。
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