導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合證明問(wèn)題(編輯修改稿)
2024-10-28 18:52 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 k+1)(k+2k+1=2k180。3)2k(k+2)(k+1)(k+3)(k+2)g2k(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時(shí)，n(n+1)22≥6時(shí)，Sn21n.證法二令(n+2)n=22(n179。6)，則c(n+1)(n+3)n(n+2)3n2n+1=2n+122=2n+1179。6時(shí)，c6180。8n+1179。6時(shí)，163。c6=64=34179。6時(shí)，n(n+2)22，當(dāng)n179。6時(shí)，Sn21n.點(diǎn)評(píng)：本題奇偶分類(lèi)要仔細(xì)，第（2）問(wèn)證明時(shí)可采用分析法。，且tana=21，函數(shù)f(x)=x2tan2a+xsin(2a+p4)，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,an+1=f(an).(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；⑵ 求證：an+1an；⑶ 求證：111+a+1+L+12(n179。2,n206。N*)11+a21+an分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問(wèn)的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問(wèn)是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解：⑴tan2a=pp2tana2(1)2又∵a為銳角 ∴2a= ∴sin(2a+)=1∴f(x)=x+x==1441tan2a1(21)2∴a2,a3,Lan都大于0∴an0∴an+1an2∴則S1111121212111+(++L+)=+(S)S= a22a2a3ana2an+13an+13a22an+1⑵an+1=an+an∵a1=點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中的不等式要用放縮來(lái)解決難度就較大了，而且不容易把握，對(duì)于這樣的題要多探索，多角度的思考問(wèn)題。⑶1an+1=1111==2an+anan(1+an)an1+an111=1+ananan+1(x)=xln(1+x),數(shù)列{an}滿(mǎn)足0a11,∴111111111111++L+=++L+==2an+1=f(an)。數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=,bn+1179。(n+1)bn, n206。N*.求證:1+a11+a21+ana1a2a2a3anan+1a1an+1an+1∵a=(12)2+12=34, a=(34)2+32341 ,又∵n179。2an+1an∴an+1179。a31∴121a2∴11n1+a+1+L+12+111+a21+an點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成清晰的問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問(wèn)不等式的證明更具有一般性。{aa*n}滿(mǎn)足a1=1,n+1=2an+1(n206。N)（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{b1n}滿(mǎn)足4b114b24b31L4bn1=(an+1)bn，證明：{bn}是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：1+1a+L+12(n206。N*a) 23an+13分析：本例（1）通過(guò)把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問(wèn)關(guān)鍵在如何放縮 解：（1）Qan+1=2an+1，\an+1+1=2(an+1)故數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。\ann+1=2n，an=21（2）Q4b114b214b31L4bn1=(an+1)bn，\4(b1+b2+L+bnn)=2nbn2(b1+b2+L+bn)2n=nbn①2(b1+b2+L+bn+bn+1)2(n+1)=(n+1)bn+1②②—①得2bn+12=(n+1)bn+1nbn，即nbn2=(n1)bn+1③\(n+1)bn+12=nbn+2④ ④—③得2nbn+1=nbn+nbn1，即2bn+1=bn+bn1所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列（3）Q1a=11112n+112n+12=設(shè)S=1n2ana+1+L+1，2a3an+1（Ⅰ）0a（Ⅱ）aa2nn+1an1。n+12。（Ⅲ）若a1=2則當(dāng)n≥2時(shí),bnann!.分析：第（1）問(wèn)是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問(wèn)可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問(wèn)進(jìn)行放縮。解：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0an1,n206。N*.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即0ak=k+1時(shí),因?yàn)?1x+1=xx+10,所以f(x)在(0,1)(x)在[0,1]上連續(xù),所以f(0)1, 得an+1an=anln(1+an)an=ln(1+an)0,從而an+1an+1an1.(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2x2x2f(x)=+ln(1+x)x, 0g(0)=aa2nn1,所以g(an)0,即2f(aa2nn)0,從而an+12.(Ⅲ)因?yàn)閎12b1bn+11=,n+1179。2(n+1)bn,所以bn0,n+1b179。n,所以bba2nbn1bnn=bL2b11179。nn!————①由(Ⅱ)an+1,知:an+1an,n1bn2b122an2所以anaa3Lnaa1a2Ln1 ,因?yàn)閍a=a2aa1=, n≥2, 0an+1an1a2n12222a2a2所以a1a2Lan1aan1n2221n12n=2n————②由①② 兩式可知:bnann!.點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意。(x)=5+2x168x，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=l，an+1=f(an)．(1)試比較a5n與4的大小，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)數(shù)列{b5nnn}滿(mǎn)足bn=4－an，記Sn=229。bi．證明：當(dāng)n≥2時(shí),Sn＜(2－1)．i=14分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：(1)a2ann+1=5+168a，因?yàn)閍所以a731=1,2=,a3=4.（2）因?yàn)閍n0,an+10,所以168an0,0an+2a48(a55n5nn+1)3
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