利用導數處理與不等式有關的問題(編輯修改稿)
2025-10-26 15:20 本頁面
【文章內容簡介】 ：一般地，證明f(x)g(x),x206。(a,b),可以構造函數F(x)=f(x)g(x)，如果F39。(x)0,，則F(x)在(a,b)上是減函數，同時若F(a)163。0,由減函數的定義可知，x206。(a,b)時，有F(x)0,即證明了f(x)g(x)。x練習：0時，證明不等式e1+x+12x成立。2證明：設f(x)=e1xx12x,則f39。(x)=(x)=e1x,則g39。(x)=0時，g39。(x)=e10.\g(x)在(0,+165。)上單調遞增，而g(0)=0.\g(x)g(0)=0,\g(x)0在(0,+165。)上恒成立，\f(x)在即f39。(x)0在(0,+165。)恒成立。(0,+165。)上單調遞增，又f(0)=0,\ex1x1x20,即x0時，:當x1時,有l(wèi)n(x+1)lnxln(x+2).1+x+12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為ln(x+1)ln(x+2),然后把x相對固定看作常數,并選取輔助函lnxln(x+1)數f(x)=ln(x+1).則只要證明f(x)在(0,+165。): 作輔助函數f(x)=ln(x+1)(x1)lnxlnxln(x+1)xlnx(x+1)ln(x+1)=于是有f162。(x)=x+12xlnxx(x+1)ln2x因為 1xx+1, 故0lnxln(x+1)所以 xlnx(x+1)ln(x+1)（1，+165。）因而在內恒有f39。(x)0,所以f(x)在區(qū)間(1,+165。)x1+x,可知f(x)f(x+1)即 ln(x+1)ln(x+2)lnxln(x+1)所以 ln2(x+1)lnxln(x+2).利用導數知識證明不等式是導數應用的一個重要方面，也成為高考的一個新熱點，其關鍵是構造適當的函數，判斷區(qū)間端點函數值與0的關系，其實質就是利用求導的方法研究函數的單調性，通過單調性證明不等式。ln(1+x)x,其中x 因為例6中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1+x)(x),則發(fā)現作差以后21+x)(1,+xx2證明: 先證 xln(1+x)2x2設 f(x)=ln(1+x)(x)(x0)21x21+0)0=0 f(x)=則 f(0)=ln(1+x=1+x1+x39。Q x0 即 1+x0 x20x2\ f162。(x)=0 ,即在(0,+165。)上f(x)單調遞增1+xx2\ f(x)f(0)=0 \ ln(1+x)x21+x)x。令 g(x)=ln(1+x)x 再證 ln(則 g(0)=0 g162。(x)=11 1+x１\ln(1+x)x Q x0 \ 1 \ g162。(x)0 １+xx2\ xln(1+x)x 練習：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數，且1i163。mn證明：(1+m)n(1+n)m分析：要證(1+m)n(1+n)m成立，只要證ln(1+m)nln(1+n)m即要證11ln(1+m)ln(1+n)成立。因為m11ln(1+m)ln(1+n)； mn從而：(1+m)n(1+n)m。評注：這類非明顯一元函數式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數式分別在兩個不同點處的函數值的大小比較問題，只要將這個函數式找到了，通過設函數，求導判斷它的單調性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數式，這就是“構造函數法”，通過這類數學方法的練習，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數學所需要的。第三篇：利用導數證明不等式利用導數證明不等式沒分都沒人答埃。覺得可以就給個好評!最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數f(x).對這個函數求導，判斷這個函數這各個區(qū)間的單調性，然后證明其最大值(或者是最小值)!1時,證明不等式xln(x+1)設函數f(x)=xln(x+1)求導，f(x)39。=11/(1+x)=x/(x+1)0所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數f(x)f(1)=1ln2o所以xln(
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