數(shù)列與不等式的綜合問題(編輯修改稿)
2025-04-21 02:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 為正數(shù)的等差數(shù)列，∈N*，bn是an和an＋1的等比中項(xiàng)．(1)設(shè)＝b－b，n∈N*，求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；(2)設(shè)a1＝d，Tn＝ (－1)kb，n∈N*，求證： .證明 (1)由題意得b＝anan＋1，有＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，(3分)因此＋1－＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以{}是等差數(shù)列．(6分)(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b) ＝2d(a2＋a4＋…＋a2n) ＝2d ＝2d2n(n＋1)．(9分)所以 ＝ ＝ (12分)＝.(15分)6．[2016德州一模](本小題滿分15分)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)令bn2＝(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，寫出Tn關(guān)于n的表達(dá)式，并求滿足Tn時(shí)n的取值范圍．解 (1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n－1(n≥2)．兩式相減得an＝(n≥2)，(4分)又a1＝1滿足上式，∴an＝(n∈N*)，(5分)(2)由(1)知bn＝，(6分)Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋.兩式相減得Tn＝＋2－，Tn＝＋2－，(9分)Tn＝1＋4－＝3－，(10分)由Tn－Tn－1＝3－－＝，當(dāng)n≥2時(shí)，Tn－Tn－10，所以數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增．(12分)T4＝3－＝，又T5＝3－＝＝，所以n≥5時(shí)，Tn≥T5，故所求n≥5，n∈N*.(15分)7．[2016吉林二模](本小題滿分20
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