57均值不等式與不等式的實際應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-11-03 14:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y=mg(x)+等式來求最值。技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x)=x+調(diào)性。例：求函數(shù)y=A+B(A0,B0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運用均值不g(x)a的單x2的值域。2=t(t179。2)，則y==1=t+(t179。2)t因t0,t=1，但t=解得t=177。1不在區(qū)間[2,+165。)，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為y=t+在區(qū)間[1,+165。)單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間[2,+165。)為單調(diào)遞增函數(shù)，故y179。所以，所求函數(shù)的值域為234。,+165。247。練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x 1t5。2233。5235。2246。248。11x2+3x+1y=2sinx+,x206。(0,p)y=2x+,x3,(x0)()(3)（1）y=（2）sinxx3x2．已知0x1，求函數(shù)y3．0x.；，求函數(shù)yab+b=2，則3+： 3和3都是正數(shù)，3+3≥23a3b=3a+b=6ababababab當(dāng)3=3時等號成立，由a+b=2及3=3得a=b=1即當(dāng)a=b=1時，3+3的最小值是6．變式：若log4x+log4y=2，求+,y的值xy技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知x0,y0，且+=1，求x+y的最小值。xy19230。19246。+=1，\x+y=231。+247。(x+y)179。=12xyxy232。248。錯解： ∵x0,y0，且．．故 (x+y)min=12。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x+y179。x=y，在1+9179。xy成立條件是=即y=9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題xy時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。230。19246。y9x19正解：∵x0,y0,+=1，\x+y=(x+y)231。+247。=++10179。6+10=16xy232。xy248。xy當(dāng)且僅當(dāng)19y9x=時，上式等號成立，又+=1，可得x=4,y=12時，(x+y)min=16。xyxyxy變式：（1）若x,y206。R+且2x+y=1，求1+1的最小值+(2)若a,b,x,y206。R且a+b=1，求x+y最小值xyy 2技巧七、已知x，y為正實數(shù)，且x＋ ＝1，求x1＋ 2＋b2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。11＋y中y前面的系數(shù)為，x1＋y＝x1＋y2＝2 x2＋22下面將x，1y ＋分別看成兩個因式： 22x＋x＋ ≤222技巧八、取平方2y 212＋)x＋ ＋ 22223＝ ＝即1＋y＝2 x4＋ ≤ 224已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x ＋2y ＋ba 2＋b2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，≤，本題很簡單3x ＋2y≤23x）2＋（2y）2 ＝23x＋2y ＝25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋23x y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x)2(y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20∴ W≤20 ＝5變式: 求函數(shù)y=1x5)的最大值。解析：注意到2x1與52x的和為定值。y2=2=4+163。4+(2x1)+(52x)=8又y0，所以0y163。當(dāng)且僅當(dāng)2x1=52x，即x=時取等號。故ymax= 2評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1． 已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a+b+cab+bc+ca2正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc+1246。230。1246。230。1246。已知a、b、c206。R，且a+b+c=1。求證：230。231。1247。231。1247。231。1247。179。8232。a248。232。b248。232。c248。+解：Qa、b、c206。R，a+b+c=1。\11=1a=b+c179。1111aaabc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得1時取等號。230。1246。230。1246。230。1246。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=111=8231。247。231。247。231。247。3232。a248。232。b248。232。c248。應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題例：已知x0,y0且1+9=1，求使不等式x+y179。m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。xy條件：m≤(x+y)的最小值，m206。(165。,16]應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若ab1,P=lgalgb,Q=1a+b(lga+lgb),R=lg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是22分析：∵ab1 ∴l(xiāng)ga0,lgb0（lga+lgb)algb=p 2a+b1R=lg()lgab=lgab=Q∴RQP。22Q=第四篇：均值不等式的應(yīng)用均值不等式的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)： 教學(xué)重點：應(yīng)用 教學(xué)難點：應(yīng)用教學(xué)方法：講練結(jié)合 教具：多媒體 教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入：，平均不等式 ：調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù) ：積定和最小；和定積最大注：①極值定理成立的條件：一正二定三相等 ②應(yīng)用時應(yīng)該注意的問題： ：3①若x0,求y=+2②4x1,+2=1,求x1+y2的最大值.③x206。R,且x+21④ y=x(23x)⑤y=14x+54x二、新授：：掌握用重要不等式求最值的方法，重視運用過程中的三個條件：正數(shù)、相等、常數(shù)=x+(165。,4]或[4,+165。)+2y=1,x、y206。R+，+x+4y31x+2y32)=(2)=分析：x2y=xx4y163。（443432721當(dāng)x=4y即x=,y=,b,x,y206。R，且有a2+b2=3,x2+y2=6,求ax+：運用柯西不等式 2．變形運用：對于某些復(fù)
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