均值不等式的應(yīng)用策略五篇(編輯修改稿)
2024-11-05 17:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 七、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x＋ ＝1，求x1＋ 2＋b2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。11＋y中y前面的系數(shù)為，x1＋y＝x1＋y2＝2 x2＋22下面將x，1y ＋分別看成兩個(gè)因式： 22x＋x＋ ≤222技巧八、取平方2y 212＋)x＋ ＋ 22223＝ ＝即1＋y＝2 x4＋ ≤ 224已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x ＋2y ＋ba 2＋b2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，≤，本題很簡單3x ＋2y≤23x）2＋（2y）2 ＝23x＋2y ＝25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋23x y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x)2(y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20∴ W≤20 ＝5變式: 求函數(shù)y=1x5)的最大值。解析：注意到2x1與52x的和為定值。y2=2=4+163。4+(2x1)+(52x)=8又y0，所以0y163。當(dāng)且僅當(dāng)2x1=52x，即x=時(shí)取等號。故ymax= 2評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1． 已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a+b+cab+bc+ca2正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc+1246。230。1246。230。1246。已知a、b、c206。R，且a+b+c=1。求證：230。231。1247。231。1247。231。1247。179。8232。a248。232。b248。232。c248。+解：Qa、b、c206。R，a+b+c=1。\11=1a=b+c179。1111aaabc上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1時(shí)取等號。230。1246。230。1246。230。1246。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=111=8231。247。231。247。231。247。3232。a248。232。b248。232。c248。應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題例：已知x0,y0且1+9=1，求使不等式x+y179。m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。xy條件：m≤(x+y)的最小值，m206。(165。,16]應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若ab1,P=lgalgb,Q=1a+b(lga+lgb),R=lg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是22分析：∵ab1 ∴l(xiāng)ga0,lgb0（lga+lgb)algb=p 2a+b1R=lg()lgab=lgab=Q∴RQP。22Q=第四篇：均值不等式的應(yīng)用均值不等式的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)： 教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用教學(xué)方法：講練結(jié)合 教具：多媒體 教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入：，平均不等式 ：調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù) ：積定和最??；和定積最大注：①極值定理成立的條件：一正二定三相等 ②應(yīng)用時(shí)應(yīng)該注意的問題： ：3①若x0,求y=+2②4x1,+2=1,求x1+y2的最大值.③x206。R,且x+21④ y=x(23x)⑤y=14x+54x二、新授：：掌握用重要不等式求最值的方法，重視運(yùn)用過程中的三個(gè)條件：正數(shù)、相等、常數(shù)=x+(165。,4]或[4,+165。)+2y=1,x、y206。R+，+x+4y31x+2y32)=(2)=分析：x2y=xx4y163。（443432721當(dāng)x=4y即x=,y=,b,x,y206。R，且有a2+b2=3,x2+y2=6,求ax+：運(yùn)用柯西不等式 2．變形運(yùn)用：對于某些復(fù)雜的函數(shù)式，需適當(dāng)變形后，=sinxcos2x(x206。(0,)),b,x,y206。R+且+=1，求x+：此題若能靈活變形，運(yùn)用重要不等式求最值，：用判別式法轉(zhuǎn)換為一個(gè)未知數(shù)利用判別式 解法二：換元法令x=acsc2a,y=bsec2a 解法三：轉(zhuǎn)換為一個(gè)字母利用基本不等式求解ab解法四：利用x+y=(x+y)(+)xy11變形：已知a,b,x,y206。R+，且x+2y=1,求u=+：，：，剪去四個(gè)角（四個(gè)全等的正方形），作成一個(gè) 無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為xa則其容積為V=x(a2x)2,(0x)2114x+(a2x)+(a2x)32a3V=4x(a2x)(a2x)163。[]=44327aa2a3當(dāng)且僅當(dāng)4x=a2x即x=時(shí)取“=”即剪去的小邊長為時(shí)，容積為6627三、練習(xí)：66+3x2的最小值，y=2+,b滿足ab=a+b+3,0時(shí)求y=,y滿足xyxy=1，求x++b2=10，求a+0,y0,z0，求(1+x2)(1+y2)(1+z2)=、小結(jié)：五、作業(yè)：x1, 求y=x4(1x2)的最大值2．制作一個(gè)容積為16pm3的圓柱形容器(有底有蓋)，問圓柱底半徑和高各取多少時(shí)，用料最?。浚ú挥?jì)加工時(shí)的損耗及接縫用料）(R=2m,h=4m)六、板書設(shè)計(jì)：第五篇：均值不等式公式總結(jié)及應(yīng)用均值不等式應(yīng)用a2+b21.(1)若a,b206。R，則a+b179。2ab(2)若a,b206。R，則ab163。2a+b**2.(1)若a,b206。R，則179。ab(2)若a,b206。R，則a+b179。2
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