57均值不等式與不等式的實(shí)際應(yīng)用(參考版)
2024-11-03 14:01本頁面
【正文】 ,16] kk1a+b(lga+lgb),R=lg()，則P,Q,應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若ab1,P=algb,Q=分析：∵ab1 ∴l(xiāng)ga0,lgb0Q=（lga+lgb)lgalgb=p 2a+b1R=lg()lgab=lgab=Q∴RQP。16，m206。2。m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。c248。b248。a248。247。247。247。111179。a=b=c=。230。230。c述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1230。同理1179。\11ab+c1==179。解：Qa、b、c206。aaa1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c206。c248。b248。a248。179。231。231。求證：231。1246。1246。1246。總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。=時(shí)取等號。y2=2=4+163。（2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20變式: 求函數(shù)y=解析：注意到2x1與52x的和為定值。2y ＝10＋23x 技巧九、取平方已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x ＋2y ：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，a＋b≤a 2＋b2，本題很簡單3x ＋2y≤2（3x）2＋（2y）2 ＝2 3x＋2y ＝25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。R+），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，變式：0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。R+）a+b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式a+b179。（a,b206。t＝8∴ ab≤18∴ y≥當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號成立。－2 b 2＋30b法一：a＝，ab＝＋y 2x 2＋（12≤y 2＋)222x 2＋＝y(tǒng) 21＋222＝即x1＋y 2 ＝2 ＝xR+且a+bxy=1，求x+y的最小值已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 2y 2＝1，求x1＋y 2 ：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 2。=時(shí)，上式等號成立，又+xyxy變式：（1）若x,y206。xy248。=++10179。y9x190,+=1，\x+y=(x+y)231。正解：Qx0,y230。xy19=xy即y=9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。在1+9y179。xyxy232。=12故 (x+y)min=12。+247。xy1919246。(0,p),x3(3)y=2sinx+,(x0)（2）y=2x+（1）y=sinxx3x2．已知0條件求最值 x1，求函數(shù)y.；3．0x，求函數(shù)y=3.+b=2，則3a+分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且3解： 當(dāng)3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，3a和3b都是正數(shù)，3a+3b≥23a3b=3a+b=6=3b時(shí)等號成立，由a+b=2及3a=3b得a=b=1即當(dāng)a=b=1時(shí)，3a+3b的最小值是6．11變式：若log4x+log4y=2，求+,y的值xy技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯(cuò)。2248。234。,+165。t2因t所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?33。)單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間[2,+165。)，故等號不成立，考慮單調(diào)性。2)t110,t=1，但t=解得t=177。t(t179。即化為A+B(A0,B0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。5=9（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號）。技巧四：換元解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即時(shí),y179。x2+7x+10(x1)的值域。4232。0,247。206。當(dāng)且僅當(dāng)2x技巧三： 分離=32x,即x=3230。= 222232。2231。9230。變式：設(shè)0x，求函數(shù)y=4x(32x)的最大值。當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號當(dāng)x＝2時(shí)，y=x(82x)的最大值為8。利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。54x評注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。232。2+3=1 247。Qx,\54x0，\y=4x2+=231。4x5解：因4x50，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x2)g不是常數(shù)，所以對4x2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，4x5511246。＝2； x6∴值域?yàn)閇6，+∞）1(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋≥2x11當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋= －（－ x－）≤－2xx∴值域?yàn)椋ǎ蓿?]∪[2，+∞）1x22『ps.(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用』 應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y＝3x 2＋12x1（2）y＝x＋2x解：(1)y＝3x 2＋≥22x 2113x 22(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”bababaa+b2a2+,b206。2即+179。2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”0，則若ab185。2或x+1163。0，則x+1179。2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”）x1若x0，則x+163。2248。247。230。(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”(3)若a,b206。R，則a+b179。R，則179。R，則ab163。R，則a+b179。R+，且x+2y=1,求u=+：，：，剪去四個(gè)角（四個(gè)全等的正方形），作成一個(gè) 無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為xa則其容積為V=x(a2x)2,(0x)2114x+(a2x)+(a2x)32a3V=4x(a2x)(a2x)163
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