【正文】 x+3x+1桫又x0maxx111=?所以5x+3x+1x+3+13x驏x即x+3x+1桫=max.輊11故a179。04?2（舍）16，當且僅當x=y=4時，等號成立.（三).不等式與恒成立問題x0，163。18 1故y179。琪琪0,3桫2時，,b為正實數(shù)，2b+ab+a=30，求函數(shù)y=的最：法一：由2b+ab+a=30得a=302bb+1所以ab=302b2b2+30b+1bbb+1由a,b為正實數(shù)得0ab=2t2+34t32t=2驏琪琪t16+34 桫t?2 34=18故y179。=y24(32x)：因為03，所以32x0故y=4x(32x)=2 2x(32x)163。239。=y，即x=y=時等號成立239。237。x=12239。239。第五篇：均值不等式的變形和應用均值不等式的變形和應用一、變形,b是正實數(shù)，則a2ab+b 2a或+ 2（當且僅當a=b時，等號成立）bba,b,c是正實數(shù)，則a2+b2+c2?abbc+ca（當且僅當a=b時，等號成立）,b是正實數(shù)，則a+b22ab（當且僅當a=b時，等號a+b成立）,a2,b1,b2是實數(shù)，則(2222a1+a2b1+b2?a1b1a2b2（當且僅當a1:a2=b1:b2)()()時，等號成立）二、應用（一).在求最值中的應用在求最值時，要利用湊項、湊系數(shù)、分離和換元等方法，使兩個整數(shù)的和或積或平方和為定值，以利用均值不等式。(165。\k179。xy19x+y9x+9y10y9x+=1，\+=1.\++=1 xykxkykkxky解：令x+y=k,x0,y0,\1179。應用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x0,y0且+=1，求使不等式x+y179。232。232。3abc232。231。231。=8231。當且僅當時取等號。1246。1246。1246。b，11179。aaa。R，a+b+c+=1。R，且a+b+c+分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又可由此變形入手。11ab+c，1==179。232。232。8232。1247。1247。1247。=1。230。230。應用二：利用均值不等式證明不等式1．已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2+b2+c2ab+bc+ca230。故ymax= 2當且僅當2x1=52x，即x評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。4+(2x1)+(52x)=8又y0，所以0y163。x)的最大值。2y ≤10＋（3x)2W＞0，W2＝3x＋2y＋2∴ W≤＝3x 求它的面積最大值。ab（a,b206。R+）的應用、不等式的解法及運算能力；②如何由已知不等式2的范圍，關鍵是尋找到ab=a+2b+30出發(fā)求得ab（a,b206。ab∴ 30－ab≥22 ≤u≤3ab法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2令u＝ab則u2＋22 u－30≤0，－5∴ab≤32，ab≤18，∴y≥點評：①本題考查不等式a+b179。b＝b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝118－2t 2＋34t－31＝－2（t＋16）＋34∵t＋16≥230－2b30－2bttttx＋y 2≤ 24技巧八：已知a，b為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。＋y 2下面將x，12＋y 2分別看成兩個因式：x同時還應化簡1＋y 2 中y2前面的系數(shù)為12，x1＋y 2 ＝x1＋y 22R+且2x+y=1，求1+1的最小值xy(2)已知a,b,x,技巧七y206。xy當且僅當19y9x=1，可得x=4,y=12時，(x+y)min=16。6+10=16xy232。+247。19246。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。x=y，錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x+179。248。231。(x+y)179。x0,y0，且+=1，\x+y=230。2：已知x0,y錯解：Q．．0，且+=1，求x+y的最小值。練習．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x +3x+1,x206。235。247。5246。)為單調(diào)遞增函數(shù)，故y179。tt15因為y=t+在區(qū)間[1,+165。1不在區(qū)間[2,+165。2)，則y=1=t+(t179。y=mg(x)+例：求函數(shù)y=2的值域。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。(t1)2+7(t1）+10t2+5t+44y===t++5ttt當,即t=時,y179。5=9（當且僅當x＝1時取“＝”號）。=x+1解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。2248。時等號成立。231。3246。248。247。解：∵0x∴32x0∴y=4x(32x)=22x(32x)163。232x+32x246。評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。注意到2x+(82x)=8為定值，故只需將y=x(82x)湊上一個系數(shù)即可。技巧二：湊系數(shù) ：由時，求知，y=x(82x)的最大值。當且僅當54x=，即x=1時，上