57均值不等式與不等式的實(shí)際應(yīng)用(已修改)
2025-10-29 14:01 本頁面
【正文】 第一篇：57均值不等式與不等式的實(shí)際應(yīng)用學(xué)案五十七：均值不等式與不等式的實(shí)際應(yīng)用命題：閆桂女劉麗娟審核：【考綱要求】了解均值不等式的證明過程會(huì)用均值不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}【課前自主預(yù)習(xí)】一、自主梳理，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)重要不等式：如果a,b都是實(shí)數(shù)，那么a+b179。________均值不等式：如果a0,b0，那么22a+b179。________2a+ba2+b22ab已知a,b都是正數(shù)，則ab,的大小順序是，22a+b________________靈活變式：a2+b2ab2；(a+b)2a+b222 ；a+b2ab_____()2a+b2a2+b2()22；(a+b)2_____4ab；ba+179。__(ab0)；_______163。2(a2+b2)ab利用兩個(gè)定理求最值問題（1）x0,y0,xy=P(定值)那么當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最__值2ps2（2）x0,y0,x+y=S(定值)那么當(dāng)x=y時(shí)，xy有最__值4應(yīng)用此結(jié)論要注意三個(gè)條件：一正，二定、三相等 技巧：配湊、裂項(xiàng)、轉(zhuǎn)化、分離常數(shù)等二、自我檢測，查找問題1．下列命題中正確的是（）1x2+3 A 函數(shù)y=x+的最小值為2B 函數(shù)y=的最小值為2 2xx+2C函數(shù)y=23x4(x0)的最大值為24 x1D 函數(shù)y=x+2x+21的最小值為1 x2+2x+3ab2．若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=2,則3+3的最小值是__________3．若正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=1，則a+b的最小值是_______ 221(a2),則M的取值范圍是________ a211n+179。abc,n206。M且，．若M=a+【課堂思維展示】一、典例剖析，總結(jié)規(guī)律題型一： 例1．（1）已知正數(shù)x,y滿足3x+4y=12,求lgx+lgy的最大值及此時(shí)x,y的值。（2）已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1,求11+的最小值。xy（3）已知正數(shù)x,y滿足2x+8yxy=0, 求x+y的最小值變式：（1）正數(shù)x,y滿足19+=1，求x+y的最小值 xy（2）若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍題型二：例（1）已知x51，求函數(shù)y=4x2+的最大值 44x510+7x+x2（2）已知x1，求函數(shù)y=的最小值 x+1題型三：證明不等式例3．已知a,b,c206。R，求證a+b+c179。ab+bc+ca變式：設(shè)a,b,c為正數(shù)，a+b+c=1,求證：題型四：用不等式解決實(shí)際問題例西北西康羊皮手套公司準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對(duì)生產(chǎn)的羊皮手套進(jìn)行促銷。在1年內(nèi)，據(jù)測算年銷售量S（萬雙）與廣告費(fèi)x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系為S=3222111++179。9 abc1(x0)，已知羊皮手套的固定投入為3萬x元，每生產(chǎn)1萬雙羊皮手套仍需再投入16萬元。（年銷售收入=年生產(chǎn)成本的150%+年廣告費(fèi)的50%）（1）試將羊皮手套的年利潤L（萬元）表示成為年廣告費(fèi)x（萬元）的函數(shù)。（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入為多少萬元時(shí)，此公司的年利潤最大，最大利潤為多少？（年利潤=年銷售收入年成本年廣告費(fèi)）二、當(dāng)堂檢測，診斷反饋1．若ab1,P=lgalgb,Q=1a+b(lga+lgb),R=lg,則（）22ARy2=1，則x+y2的最大值是______設(shè)正數(shù)x,y滿足x+223．設(shè)M=(1111)(1)(1)，且a+b+c=1(其中a0,b0,c0),則M的取值范abcxy圍是_____________4．點(diǎn)P（x,y）在經(jīng)過A(3,0),B(1,1)兩點(diǎn)的直線上，那么2+4的最小值是___________5．函數(shù)y=loga(x+3)1(a0,a185。1)的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中mn0,則12+的最小值是__________ mn6．設(shè)正數(shù)x,y滿足log2(x+y+3)=log2x+log2y，則x+y范圍是三、能力提高關(guān)于x的方程4+a2+a+1=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。汽車行駛中，由于慣性作用，剎車后還要向前滑行一段距離才能停住，我們把這段距離叫做“剎車距離”。在某公路上，“剎車距離”s米與汽車車速v米/秒之間有經(jīng)驗(yàn)公式：s=xx325v+v。為保證安全行駛，要求在這條408公路上行駛著的兩車之間保持的“安全距離”為“剎車距離”再加25米，現(xiàn)假設(shè)行駛在這條公路上的汽車的平均車身長為5米，每輛車均以相同的速度v行駛，并且每兩輛車之間的間隔均是“安全距離”。（1）試寫出經(jīng)過觀測點(diǎn)A的每兩輛車之間的時(shí)間間隔t與速度v的函數(shù)關(guān)系式；（2）問v為多少時(shí)，經(jīng)過觀測點(diǎn)A的車流量（即單位時(shí)間通過的汽車數(shù)量）最大？第二篇：均值不等式及其應(yīng)用教師寄語：一切的方法都要落實(shí)到動(dòng)手實(shí)踐中高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案均值不等式及其應(yīng)用一．考綱要求及重難點(diǎn)要求：（?。?，難度為中低檔題，．考點(diǎn)梳理a+：179。；2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)取等號(hào).（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，M21）.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝：和定積最大。2）.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝：積定和最小。幾個(gè)重要的不等式（1）a+b179。2ab(a,b∈R)（2）22ba +179。2(a,b同號(hào)）aba2+b2a+b2a+b2179。()（a,b206。R）（3）ab163。()（a,b206。R）（4）222三、學(xué)情自測已知a179。0，b179。0，且a+b=2，則（）112222A、ab163。B、ab179。C、a+b179。2D、a+b163。3 22給出下列不等式：①a+1179。2a21179。2；③x2+2179。1，其中正確的個(gè)數(shù)是 x+1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。,b，滿足a+b=1，則+的最小值為 ab設(shè)x0，則y=33x均值不等式及其應(yīng)用第 1頁（共4頁）四．典例分析考向一：利用均值不等式求最值2
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