均值不等式講解與習(xí)題(已修改)
2025-04-06 00:08 本頁面
【正文】 . .. . ..一．均值不等式1.（1）若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2. (1)若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）(3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）。若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用．應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋解：（1）y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域?yàn)閇，+∞） （2）當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋≥2＝2；當(dāng)x＜0時(shí)， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2∴值域?yàn)椋ǎ蓿?]∪[2，+∞）解題技巧：技巧一：湊項(xiàng)例1：已知，求函數(shù)的最大值。解：因，所以首先要“調(diào)整”符號，又不是常數(shù)，所以對要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號成立，故當(dāng)時(shí)。評注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1. 當(dāng)時(shí)，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號 當(dāng)x＝2時(shí)，的最大值為8。評注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。解：∵∴∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立。技巧三： 分離例3. 求的值域。解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1