【正文】 3b時等號成立，由a+b=2及3a=3b得a=b=1即當a=b=1時，3a+3b的最小值是6．11變式：若log4x+log4y=2，求+,y的值xy技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知x0,y錯解：Q．．0，且+=1，求x+y的最小值。xy1919246。x0,y0，且+=1，\x+y=230。+247。(x+y)179。=12故 (x+y)min=12。231。xyxy232。248。在1+9y179。x=y，錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x+179。xy19=xy即y=9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：Qx0,y230。19246。y9x190,+=1，\x+y=(x+y)231。+247。=++10179。6+10=16xy232。xy248。xy當且僅當19y9x=1，可得x=4,y=12時，(x+y)min=16。=時，上式等號成立，又+xyxy變式：（1）若x,y206。R+且2x+y=1，求1+1的最小值xy(2)已知a,b,x,技巧七y206。R+且a+bxy=1，求x+y的最小值已知x，y為正實數(shù)，且x 2y 2＝1，求x1＋y 2 ：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤a 2＋b 2。同時還應化簡1＋y 2 中y2前面的系數(shù)為12，x1＋y 2 ＝x1＋y 22 ＝x＋y 2下面將x，12＋y 2分別看成兩個因式：x＋y 2x 2＋（12≤y 2＋)222x 2＋＝y(tǒng) 21＋222＝即x1＋y 2 ＝2 x＋y 2≤ 24技巧八：已知a，b為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。－2 b 2＋30b法一：a＝，ab＝b＝b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝118－2t 2＋34t－31＝－2（t＋16）＋34∵t＋16≥230－2b30－2bttttt＝8∴ ab≤18∴ y≥當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。ab∴ 30－ab≥22 ≤u≤3ab法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2令u＝ab則u2＋22 u－30≤0，－5∴ab≤32，ab≤18，∴y≥點評：①本題考查不等式a+b179。（a,b206。R+）的應用、不等式的解法及運算能力；②如何由已知不等式2的范圍，關(guān)鍵是尋找到ab=a+2b+30出發(fā)求得ab（a,b206。R+）a+b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式a+b179。ab（a,b206。R+），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，變式：0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。，求它的面積最大值。技巧九、取平方已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x ＋2y ：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，a＋b≤a 2＋b2，本題很簡單3x ＋2y≤2（3x）2＋（2y）2 ＝2 3x＋2y ＝25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋2∴ W≤＝3x 2y ＝10＋23x 2y ≤10＋（3x)2（2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20變式: 求函數(shù)y=解析：注意到2x1與52x的和為定值。x)的最大值。y2=2=4+163。4+(2x1)+(52x)=8又y0，所以0y163。=時取等號。故ymax= 2當且僅當2x1=52x，即x評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式1．已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2+b2+c2ab+bc+ca230。1246。230。1246。230。1246。=1。求證：231。1247。231。1247。231。1247。179。8232。a248。232。b248。232。c248。11ab+c，1==179。aaa1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c206。R，且a+b+c+分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又可由此變形入手。解：Qa、b、c206。R，a+b+c+=1。\11ab+c1==179。aaa。同理1179。b，11179。c述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得1230。1246。230。1246。230。1246。a=b=c=。當且僅當時取等號。111179。=8231。247。231。247。231。247。3abc232。a248。232。b248。232。c248。應用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x0,y0且+=1，求使不等式x+y179。m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。xy19x+y9x+9y10y9x+=1，\+=1.\++=1 xykxkykkxky解：令x+y=k,x0,y0,\1179。2。\k179。16，m206。(165。,16] kk1a+b(lga+lgb),R=lg()，則P,Q,應用四：均值定理在比較大小中的應用： 例：若ab1,P=algb,Q=分析：∵ab1 ∴l(xiāng)ga0,lgb0Q=（lga+lgb)lgalgb=p 2a+b1R=lg()lgab=lgab=Q∴RQP。