專(zhuān)題09導(dǎo)數(shù)與不等式的解題技巧(編輯修改稿)
2025-04-20 05:51 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 線(xiàn)的斜率，由得切點(diǎn)由點(diǎn)斜式方程可得切線(xiàn)的方程；（）（?。┖瘮?shù)與函數(shù)的圖像總有兩個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的問(wèn)題，進(jìn)而研究的導(dǎo)數(shù)及圖像即可.（ⅱ）先由 （?。?得的單調(diào)性，分析出、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)；設(shè)，將導(dǎo)到上，利用函數(shù)在上單調(diào)性，欲證,只需證明，結(jié)合，結(jié)合單調(diào)性即可證明結(jié)論 ．【詳解】（）解：由已知得，∴∴，又∵，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：.（）（ⅰ）令，∴，由得，；由得，易知，為極大值點(diǎn)，又時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在時(shí)有負(fù)值存在，在時(shí)也有負(fù)值存在.由題意，只需滿(mǎn)足，∴的取值范圍是：（ⅱ）由題意知，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由（?。┲?，不妨設(shè)，則，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，欲證，只需證明，而，所以，只需證明.令，則∴.∵，∴，即所以，即在上為增函數(shù)，所以，∴成立.所以，.【點(diǎn)睛】本題屬于極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，教案中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．練習(xí)．已知函數(shù) 的極小值為.（）求的值； （）任取兩個(gè)不等的正數(shù)，且，若存在正數(shù)，使得成立，求證：.【答案】（）； （）見(jiàn)解讀.【解讀】（）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論；（）求出后把用，表示，再把與作差后構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)后得到構(gòu)造的輔助函數(shù)的最小值大于，從而得到，運(yùn)用同樣的辦法得到，最后得到要證的結(jié)論.【詳解】（）顯然， ， 令，解得.當(dāng)時(shí)，若，為減函數(shù)；若，為增函數(shù),∴在處取得極小值， ∴ 解得 當(dāng)時(shí)與題意不符，綜上，.（）由（）知，∴,∴，即..設(shè)，則再設(shè)，則，在上是減函數(shù)∴，即，又∴ ，即，∴， ∴,同理可證得, ∴.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由，得函數(shù)單調(diào)遞增，得函數(shù)單調(diào)遞減；解題的關(guān)鍵亦為其難點(diǎn)即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)和，利用函數(shù)的單調(diào)性和極值證明不等式，是一道難度較大的綜合題型．練習(xí)．已知函數(shù)，.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(Ⅱ)若，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.【答案】(Ⅰ) 最小值為，最大值為； (Ⅱ)證明見(jiàn)解讀?！窘庾x】（Ⅰ）求出函數(shù)（）的定義域，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值即可．（Ⅱ），是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以（）＝（）＝．令通過(guò)及構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，推出,所以，即可證明結(jié)論．【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，又，顯然所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為. 當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減；所以函數(shù)的最大值為。所以當(dāng)直線(xiàn)與函數(shù)圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，且要證，只要證， 易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證,而，所以即證， 記，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)所以，因此.．（）討論的單調(diào)性； （）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】（）見(jiàn)解讀；（）證明見(jiàn)解讀.【解讀】 ()首先確定函數(shù)的定義域，之后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，之后對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，從而求得函數(shù)對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；()根據(jù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論，可以確定，令，得到兩個(gè)極值點(diǎn)是
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