構造函數(shù),利用導數(shù)證明不等式(編輯修改稿)
2024-10-26 21:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)f(x)=52122x+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a0，且b=a3alna，22求證：f(x)179。g(x)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)xb，求證：對任意的正數(shù)a、b，恒有l(wèi)nalnb179。+xaf(x)是定義在（0，+∞）上的非負可導函數(shù)，且滿足xf162。(x)f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a b，則必有（）（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)【答案咨詢】提示：f162。(x)=1 ∴（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)2lnx2a2lnx+1，當x1，a179。0時，不難證明xxxf162。(x)0，即f(x)在(0,+165。)內(nèi)單調(diào)遞增，故當x1時，f(x)f(1)=0，∴當x1時，恒有xlnx2alnx+1123a22提示：設F(x)=g(x)f(x)=x+2ax3alnxb則F162。(x)=x+2a2x(xa)(x+3a)=(x0)Qa0，∴ 當x=a時，F(xiàn)162。(x)=0，x 故F(x)在(0,a)上為減函數(shù)，在(a,+165。)上為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在(0,+165。)上的最小值是F(a)=f(a)g(a)=0，故當x0時，有f(x)g(x)179。0，即f(x)179。g(x)提示：函數(shù)f(x)的定義域為(1,+165。)，f162。(x)=11x =1+x(1+x)2(1+x)2∴當1x0時，f162。(x)0，即f(x)在x206。(1,0)上為減函數(shù)當x0時，f162。(x)0，即f(x)在x206。(0,+165。)上為增函數(shù)因此在x=0時,f(x)取得極小值f(0)=0，而且是最小值x1，即ln(1+x)179。1 1+x1+xa1bab=1 于是ln179。1 令1+x=0,則1bx+1abab因此lnalnb179。1a于是f(x)179。f(0)=0,從而ln(1+x)179。 f(x)f(x)xf39。(x)f(x)F(x)=提示：F(x)=，F(xiàn)162。(x)=，故在（0，+∞）上是減函數(shù)，由ab 163。02xxx有f(a)f(b)179。222。 af(b)≤bf(a)故選（A）ab第四篇：構造函數(shù)證明不等式在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法。一般對與一元二次函數(shù)有關或能通過等價轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時要注意根的取值范圍和題目本身條件的限制。：a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。0成立，并指出等號何時成立。解析：令f(a)=a2+(3b+c)a+c2+3b2+3bc⊿＝(3b+c)24(c2+3b2+3bc)=3(b+c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)179。0，∴a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。0恒成立。當⊿＝0時，b+c=0，此時，f(a)=a2+ac+c2+3ab=(ac)2=0，∴a=b=c時，不等式取等號。：a,b,c206。R且a+b+c=2,a2+b2+c2=2，求證： a,b,c206。234。0,235。3236。a+b+c=222解析：237。2 消去c得：此方程恒成立，a+(b2)a+b2b+1=0，22238。a+b+c=2∴⊿＝(b2)24(b22b+1)=3b2+4b179。0，即：0163。b163。233。4249。同理可求得a,c206。234。0,235。34。3② 構造函數(shù)逆用判別式證明不等式對某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結論，結合判別式的結構特征，通過構造二項平方和函數(shù)：f(x)=(a1xb1)2+(a2xb2)2+K+(anxbn)2由f(x)179。0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡捷明快的證明。,b,c,d206。R+且a+b+c+d=1，求證：4a+1+4b+1+4c+1+4d+1﹤6。解析：構造函數(shù)：f(x)=(4a+1x1)2+(4b+1x1)2+(4c+1x1)2+(4d+1x1)2＝8x22(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)x+4.(Qa+b+c+d=1)由f(x)179。0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)2128163。0.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。42﹤,b,c,d206。R+且a+b+c=1，求解析：構造函數(shù)f(x)=(＝(1axa)2+(149++的最小值。abc2bxb)2+(3cxc)21492++)x12x+1,(Qa+b+c=1
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