構造函數(shù),妙解不等式(編輯修改稿)
2024-10-31 14:49 本頁面
【文章內容簡介】 ＝－cos x＋1，當x∈(0，1)時，G′(x)＞0，于是G(x)在[0，1]上是增函數(shù)，因此當x∈(0，1)時，G(x)＞G(0)＝0，從而F(x)在[0，1]上是增函數(shù)，因此F(x)≥F(0)＝當x∈[0，1]時，12≤cos ，當x∈[0，1]時，cos x≤1－綜上，當x∈[0，1]時，1－x2≤cos x≤1－∈[0，1]時．xax＋1＋2xcos x246。 f(x)－g(x)＝(1＋x)e－230。2232。248。－2x1x31－2246。 ≥(1－x)－ax－1－2x230。232。4248。2＝－(a＋3)≤－3時，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面證明，當a＞－3時，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．因為 xax＋1＋2xcos x246。 f(x)－g(x)＝(1＋x)e－230。2232。248。－2x11x31－x2246。 ≤1－ax－2x230。232。2248。21＋xx2x3＝(a＋3)x 1＋x2x－a＋3）249。，≤x233。2235。3a＋31所以存在x0∈(0，1)例如x0取中的較小值滿足f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0，321]上不恒成立．綜上，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3]．例3（2012高考遼寧文21）(本小題滿分12分)設f(x)＝lnx＋x－1，證明： 3(1)當x1時，f(x)(2)當1【答案】解：(1)(證法一)記g(x)＝lnx＋x－1－2(x－1)．則當x1時，113g′(x)＝x2，g(x)在(1，＋∞)上單調遞減．2x又g(1)＝0，有g(x)f(x)由均值不等式，當x1時，x令k(x)＝lnx－x＋1，則k(1)＝0，k′(x)＝x1由①②得，當x1時，f(x)9(x－1)，由(1)得 x＋51154h′(x)＝x2x(x＋5)2＋xx＋55454＝2x(x＋5)4x(x＋5)(x＋5)3－216x＝4x(x＋5)令g(x)＝(x＋5)3－216x，則當19(x－1)x＋5(證法二)記h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，則當1－9 2x－1)＋(x＋5)231。x232。2x248。1＝2xx(x－1)＋(x＋5)(2＋x)－18x]x11230。249。2x3x(x－1)＋(x＋5)231。2＋22－18x 235。232。248。1＝4xx2－32x＋25)9(x－1).x＋5例4（2012高考浙江文21）（本題滿分15分）已知a∈R，函數(shù)f(x)=4x32ax+a（1）求f(x)的單調區(qū)間（2）證明：當0≤x≤1時，f(x)+ 2a＞0.【答案】【解析】（1）由題意得f162。(x)=12x22a，當a163。0時，f162。(x)179。0恒成立，此時f(x)的單調遞增區(qū)間為(165。,+165。).當a0時，f162。(x)=12(x233。此時函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為234。x，.235。(2)由于0163。x163。1，當a163。2時，f(x)+a2=4x32ax+2179。4x34x+當a2時，f(x)+a2=4x+2a(1x)2179。4x+4(1x)2=4x4x+(x)=2x2x+1,0163。x163。1，則g162。(x)=6x2=6(x則有x+.33所以g(x)min=g=1當0163。x163。1時，2x2x+1(x)+a2179。4x34x+2（2012高考山東文22）(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)=lnx+k(k為常數(shù)，e=…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y=f(x)在點ex(1,f(1))處的切線與x軸平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求f(x)的單調區(qū)間；(Ⅲ)設g(x)=xf162。(x)，其中f162。(x)為f(x)：對任意x0,g(x)1+lnxk【答案】(I)f162。(x)=，ex由已知，f162。(1)=1k=0，∴k=lnx1(II)由(I)知，f162。(x)=.ex設k(x)=lnx1，則k162。(x)=20，即k(x)在(0,+165。)上是減函數(shù)，xxx由k(1)=0知，當0x1時k(x)0，從而f162。(x)0，當x1時k(x)0，從而f162。(x)，f(x)的單調遞增區(qū)間是(0,1)，單調遞減區(qū)間是(1,+165。).(III)由(II)可知，當x179。1時，g(x)=xf162。(x)≤0＜1+e2，故只需證明g(x)1+e2在0xx1時，ex＞1，且g(x)0，∴g(x)=1xlnxxe設F(x)=1xlnxx，x206。(0,1)，則F162。(x)=(lnx+2)，當x206。(0,e2)時，F(xiàn)162。(x)0，當x206。(e2,1)時，F(xiàn)162。(x)0，所以當x=e2時，F(xiàn)(x)取得最大值F(e
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