解對數(shù)不等式教案(編輯修改稿)
2024-10-28 15:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 不等式．師：好．請先看幾道題目．（教師板書，請三位學(xué)生到黑板上做，其余學(xué)生在筆記本上做題）解下列不等式：3．log2（x+1）＋（x1）＞log4（2x1）．（學(xué)生板書）所以原不等式的解集為（∞，1）∪（0，3］． 2．解：原不等式3．解：原不等式所以原不等式的解集為（1，5）．（待三位學(xué)生寫完后，教師開始講評）師：好，這三個題解得都很正確．請問做第3題的同學(xué)，原題中的底數(shù)有2，4這三個，換底時你為什么選擇以4為底呢？ 生：都用大于1的底其單調(diào)性看起來比較方便，；如果用2為底，4為底的對數(shù)換底時真數(shù)中都要出現(xiàn)根號，而最后還要把根式變成整式，太麻煩．師：那為什么又要把左邊減的一項挪到右邊去呢？生：如果不移過去而直接運算的話，不等號左邊的真數(shù)將是個分式，最后也得變成整式，同樣麻煩．師：好．還有，左移項之后不等號右邊對數(shù)運算時，為什么又多出兩個條件x1＞0和2x1＞0呢？在不等式中不是有l(wèi)og4（x1）（2x1）一項在，它已包含了（x1）（2x1）＞0嗎？生：是因為x1＞0且2x1＞0和（x1）（2x1）＞0這兩個條件是不等價的．如果略去x1＞0和2x1＞0這兩個條件將會擴大解的范圍．師：很好．這些問題都是我們在解不等式的過程中應(yīng)該注意的．剛才我們分別回顧了簡單的分式不等式、無理不等式和對數(shù)不等式．在我們學(xué)習(xí)過的八類不等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是最簡單、最基本的不等式，而像我們剛才做的這些其他類型的不等式，我們是如何解決的呢？生：把它們轉(zhuǎn)化為一元一次或一元二次不等式． 師：具體來說這個轉(zhuǎn)化的目標是實現(xiàn)的呢？ 生：逐級轉(zhuǎn)化：超越不等式代數(shù)化；無理不等式有理化；分式不等式整式化；高次不等式低次化．師：實現(xiàn)這些轉(zhuǎn)化的理論依據(jù)是什么？生：第一個是利用函數(shù)的單調(diào)性，后三者是根據(jù)不等式的性質(zhì)． 師：在這個轉(zhuǎn)化的過程中，最應(yīng)該注意的是什么？ 生：每一次變換必須是等價變換． 師：為什么要求這樣？生：為了保證得到的解集與原不等式的解集相同． 師：我們在處理方程求解的問題時也遇到過這個問題．那時并不要求等價變換，只要驗一下根就可以了．這里不行嗎？生：不行．因為一般方程的根只有有限的幾個，增根可以通過檢驗的方式找出來．而不等式的解集一般都是無限集，因此非等價變換產(chǎn)生的增根無法由檢驗來剔除．師：說得好．我們來通過幾個例題來看看如何用等價變換解不等式．師：這道題中的x參與了分式運算，還參與了無理運算．也就是說，我們要做兩次變換．應(yīng)該先進行哪個變換呢？生：無所謂． 師：那就請兩位同學(xué)來說說這兩種做法．（學(xué)生口述，教師板書）所以原不等式的解集為（∞，1）∪［2，＋∞）．所以原不等式的解集為［2，＋∞）． 師：為什么這兩種解法得到的解集不一樣呢？變換就縮小了解的范圍．故第一種解法是正確的．師：對．我們在剛才的練習(xí)第三題中也遇到過這個問題，兩式均大于0與它們的積（或商）式大于0是不等價的，這是我們在處理等價變換時應(yīng)該注意的．對于這道題，我們就只能把它看作無理不等式．對復(fù)雜不等式的題型選擇離不開不等式的等價性．請再看這道題．師：這道題看上去和例1很像，如何處理？生甲：當然是先把絕對值號去掉，變成一個分式不等式，剩下的就和例1差不多了．師：好，把你的方法寫到黑板上．（學(xué)生板書）所以原不等式的解集為（∞，1）∪（1，+∞）．師：正確．這個解法是把題目看成了絕對值不等式，它和例1的解法類似，都是把根號或絕對值號中的式子先看成一個整體來考慮它的范圍，這樣做比較容易保證等價性．這道題是否還有別的解法呢？生乙：有．這道題可以把它看作一個分式不等式，將不等式左邊變師：在例1中這樣做不對，這里會對嗎？以保證等價．師：好，寫出你的解法．（學(xué)生板書）所以原不等式的解集為（∞，1）∪（1，＋∞）． 的，因此這個不等式可以當作分式不等式來解．那么這兩種解法哪個更好呢？生：第二種更好算一些． 師：因此我們解決不等式問題時應(yīng)先觀察題目，在等價轉(zhuǎn)化的前提下盡量選擇簡捷的途徑．請再看一道題．師：這道題中的x也參加了對數(shù)運算和分式運算．應(yīng)把它看作哪類不等式？ 生：x參與的對數(shù)運算只有l(wèi)ogax，把這個整體看成一個未知數(shù)，就可以轉(zhuǎn)化成分式不等式了．師：好，說說你的解法．（學(xué)生口述，教師板書）又0＜a＜1，則原不等式師：對．在解集的端點中含有字母系數(shù)時，要特別注意它們大小的比較．下面大家自己做幾個題目．（教師板書，學(xué)生在筆記本上做題）練習(xí)：解下列不等式：（教師觀察學(xué)生完成情況，視學(xué)生解題狀況做出點評）師：那如果把題目中的“≥”號改成“＞”號就可以直接去掉了嗎？ 生：是．這樣不會漏掉解．師：試想，即使不影響結(jié)論，也是因為忽略的情況湊巧不在解集內(nèi)．雖然我們要求等價變換的目的是為了保證同解，但不能因為湊巧同解就忽視等價變換．師：有的同學(xué)對于第2題無從下手．對于題中的字母a我們?nèi)绾翁幚砟兀?生：如果像例3那樣給定了0＜a＜1，那么不等式就可以轉(zhuǎn)化為師：那如果a＞1呢？師：因此對于這種題目我們就要對字母系數(shù)和范圍進行分類討論．試著說說剛才提到的兩種情況下的解法．（學(xué)生口述，教師板書）解：1176。當a＞1時，2176。當0＜a
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