不等式證明,均值不等式(編輯修改稿)
2024-11-03 17:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (1/n))則有：當(dāng)r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，中學(xué)常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√方法很多，數(shù)學(xué)歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個(gè)輔助結(jié)論。引理：設(shè)A≥0，B≥0，則(A+B)^n≥A^n+nA^(n1)B。注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0,有興趣的同學(xué)可以想想如何證明(用數(shù)學(xué)歸納法)。原題等價(jià)于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。當(dāng)n=2時(shí)易證。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么當(dāng)n=k+1時(shí)，不妨設(shè)a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，則ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。設(shè)s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)={s/k+/}^(k+1)≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理=(s/k)^k*a(k+1)≥a1a2…a(k+1)。用歸納假設(shè)下面介紹個(gè)好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函數(shù)f(x)，x1,x2,...xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn)，則有：f≥1/n*設(shè)f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數(shù)所以，ln≥1/n*=ln即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)。第四篇：用均值不等式證明不等式用均值不等式證明不等式【摘要】：不等式的證明在競(jìng)賽數(shù)學(xué)中占有重要地位．本文介紹了用均值不等式證明幾個(gè)不等式，我們?cè)谧C明不等式時(shí)，常用到均值不等式。要求我們要認(rèn)真分析題目，本文通過幾個(gè)國(guó)內(nèi)外競(jìng)賽數(shù)學(xué)的試題，介紹用均值不等式證明初等不等式的基本方法及技巧。【關(guān)鍵詞】：均值不等式；不等式；方法；技巧均值不等式設(shè) aaL、an 是 n 個(gè) 正數(shù)，則不等式H(a)163。G(a)163。A(a)163。Q(a)稱為均值不等式[1]．其中H(a)=n1a1+1a2+L+1an，G(a)=a1a2a1aLan，A(n)=a1+a2+L+ann22，2Q(n)=a1+a2+L+annL、an 的調(diào)和不等式，幾何平均值，算術(shù)平均值，均方根平均分別稱為 aa值．例1設(shè)aa…、an均為正，記y(n)=n（a1+a2+L+anna1a2Lan)試證：y(n)179。y(n1)，并求等號(hào)成立的條件．證明由所設(shè)條件，得y(n)y(n1)=n（a1+a2+L+annna1a2Lan)(n1)（a1+a2+Lan1n1n1a1a2Lan1)=a1+a2+L+annna1a2Lan(a1+a2+L+an1)+(n1)n1a1a2Lan=1=an+(n1)(a1a2Lan1)n1n(a1a2Lan)n，n1+L+(a1a2Lan1)n1，有 將G(a)163。A(a)應(yīng)用于n個(gè)正數(shù)：an，（a1a2Lan1）14444444244444443n1個(gè)an+(n1)(a1a2Lan1)n1n179。(a1a2Lan)n，即an+(n1)
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