導數(shù)證明不等式(編輯修改稿)
2025-10-26 09:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (ax),22!42a+bf39。39。(h)(ba)2abf()=f(b)+(ah),22!42f39。39。(x)f39。39。(h)(ba)2相減，得f(b)f(a)=,244f(b)f(a)1(ba)2即=f39。39。(x)f(h),(ba)224當f39。39。(x)179。f39。39。(h)時，記c=x否則記c=h,那么f39。39。(c)179。4f(b)f(a)(abc)(ba)2參 考 文 獻《數(shù)學分析》上冊，高等教育出版社，1990.[1]鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，[2]趙煥光，林長勝編《數(shù)學分析》上冊，四川大學出版社，2006。[3]歐陽光中，姚允龍，周淵編《數(shù)學分析》上冊，復旦大學出版社，2004.[4]華東師范大學數(shù)學系編《數(shù)學分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.第三篇：利用導數(shù)證明不等式利用導數(shù)證明不等式例1．已知x0，求證：xln(1+x)分析：設f(x)=x－lnx。x206。[0,+165。)?？紤]到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒0時，f(x)f(0)，這只要證明：f(x)在區(qū)間[0,+165。)是增函數(shù)。證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,+165。)上可導。且limf(x)=0=f(0)+x174。0 由f39。(x)=11x 可得：當x206。(0,+165。)時，f39。(x)f(0)=0 =x+1x+1 即x－lnx0，所以：x0時，xlnx 評注：要證明一個一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數(shù)），并利 用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。例2：當x206。(0,p)時，證明不等式sinxx成立。證明：設f(x)=sinxx,則f39。(x)=cosx1.∵x206。(0,p),∴f39。(x)0.∴f(x)=sinxx在x206。(0,p)內(nèi)單調(diào)遞減，而f(0)=0.∴f(x)=sinxxf(0)=0, 故當x206。(0,p)時，sinxx成立。點評：一般地，證明f(x)g(x),x206。(a,b),可以構造函數(shù)F(x)=f(x)g(x)，如果F39。(x)0,，則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時若F(a)163。0,由減函數(shù)的定義可知，x206。(a,b)時，有F(x)0,即證明了f(x)g(x)。x練習：0時，證明不等式e1+x+12x成立。2證明：設f(x)=e1xx12x,則f39。(x)=(x)=e1x,則g39。(x)=0時，g39。(x)=e10.\g(x)在(0,+165。)上單調(diào)遞增，而g(0)=0.\g(x)g(0)=0,\g(x)0在(0,+165。)上恒成立，\f(x)在即f39。(x)0在(0,+165。)恒成立。(0,+165。)上單調(diào)遞增，又f(0)=0,\ex1x1x20,即x0時，:當x1時,有l(wèi)n(x+1)lnxln(x+2).1+x+12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為ln(x+1)ln(x+2),然后把x相對固定看作常數(shù),并選取輔助函lnxln(x+1)數(shù)f(x)=ln(x+1).則只要證明f(x)在(0,+165。): 作輔助函數(shù)f(x)=ln(x+1)(x1)lnxlnxln(x+1)xlnx(x+1)ln(x+1)=于是有f162。(x)=x+12xlnxx(x+1)ln2x因為 1xx+1, 故0lnxln(x+1)所以 xlnx(x+1)ln(x+1)（1，+165。）因而在內(nèi)恒有f39。(x)0,所以f(x)在區(qū)間(1,+165。)x1+x,可知f(x)f(x+1)即 ln(x+1)ln(x+2)lnxln(x+1)所以 ln2(x+1)lnxln(x+2).利用導數(shù)知識證明不等式是導數(shù)應用的一個重要方面，也成為
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