導數證明不等式-在線瀏覽
2024-10-26 09:50本頁面
【正文】 重要工具，我們可以根據以下兩種方法來證明。其次，選取合適的函數和范圍。最后，在根據函數的單調性和最大值和最小值。(a+q(ba))(ba),0q1②f(a+h)f(a)=f39。f(b)f(a)。[x,1+x]第三步應用拉格朗日中值定理存在x206。(x)=f(1+x)f(x)(1+x)(x)即ln(1+x)ln(x)=1x而 x1+x1)而0x+165。0都有不等式成立：hln(1+h)h 1+h證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，$q206。(qh)h=當h0時有1qh+11+h,當1h0時有11+qh1+h0,+qh1hh。定理：設函數f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)可導，那么（1）若在(a,b)內f39。（2）若在(a,b)內f39。使用定理：要證明區(qū)間[a,b]上的不等式f(x)g(x)，只需令F(x)=f(x)。(x)0（F39。(x)=e+xe=x1+x(1+x)e現在來證明ex+x210令f(x)=ex+x21顯然f(0)=0當x0時f39。(x)0故F(x)遞增又因為F(0)0所以F(x)0所以ln(1+x)xex成立3．利用函數的最大值和最小值證明不等式當等式中含有“=”號時，不等式f(x)163。g(x))219。0（或g(x)f(x)163。x)證明思路：由待正不等式建立函數，通過導數求出極值并判斷時極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。xp+(1x)p163。x163。(x)=pxp1p(1x)p1=p(xp1(1x)p1)令f39。由于2函數f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，因而在閉區(qū)間[0,1]上有最小值和最大值。f(x)163。xp+(1x)p163。既有p1p1224．利用函數的泰勒展式證明不等式若函數f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n+1)階的各階導數，又在x0處有n階導數f(n)(x0)，則有展式： f39。39。(0)f39。(0)2fn(0)nf(x)=f(0)+(x)+(x)+L(x)+Rn(x)1!2!n!在上述公式中若Rn(x)179。0)則可得f39。39。f(0)+(x)+(x)+L(x)，1!2!n!f39。39?；騠(x)163。用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。39。(a)=f39。39。4f(b)f(a)。(a)=f39。39。39。39。39。39。39。39。39。f39。(h)時，記c=x否則記c=h,那么f39。(c)179。[3]歐陽光中，姚允龍，周淵編《數學分析》上冊，復旦大學出版社，2004.[4]華東師范大學數學系編《數學分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.第三篇：利用導數證明不等式利用導數證明不等式例1．已知x0，求證：xln(1+x)分析：設f(x)=x－lnx。[0,+165?？紤]到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒0時，f(x)f(0)，這只要證明：f(x)在區(qū)間[0,+165。證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,+165。且limf(x)=0=f(0)+x174。(x)=11x 可得：當x206。)時，f39。例2：當x206。證明：設f(x)=sinxx,則f39。(0,p),∴f39。(0,p)內單調遞減，而f(0)=0.∴f(x)=sinxxf(0)=0, 故當x206。點評：一般地，證明f(x)g(x),x206。(x)0,，則F(x)在(a,b)上是減函數，同時若F(a)163。(a,b)時，有F(x)0,即證明了f(x)g(x)。2證明：設f(x)=e1xx12x,則f39。(x)=0時，g39。)上單調遞增，而g(0)=0.\g(x
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