【正文】 x+y22≤2x2+y222∴ x+y≥(x+y)2=a22思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。換元有下列三種途徑：途徑1：用均值換元法消元： 令 x=2a2+m，y=aa22m22則 x+y=(+m)+(m)=2m+222aa22≥a22途徑2：代入消元法： y=ax，0a2)2+a22≥a22中天教育咨詢電話：04768705333第2頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考途徑3：三角換元法消元：令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]2p2013年數(shù)學VIP講義則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)22sin2θcos2θ]=a[12(sin2θ)]=a(12212212sin2θ)≥a22注：為了達到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當?shù)膮?shù)，也就是找到一個中間變量表示x，y?！纠?】 已知ab0，求證：(ab)8a2a+b2ab(ab)8b2。故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。a+b2ab=a+b2ab2b)(a(a+=(a2b)2ab=(a+b)b)(a8a2所證不等式可化為∵ ab0 ∴ ab ∴ ab0b)2(a2b)2(a+b)(a8b2b)2∴ 不等式可化為：(a+4ab)21(a+4bb)22236。(a+b)4a即要證237。238。239。239。在ab0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx+3+8，求證：對任意實數(shù)a，b，恒有f(a)，采用常規(guī)方法難以著手。=82(2)a2a24aa+3+8+8=2a8+82a≤282a=82a842=2令 g(b)=b24b+11232 ≥32 g(b)=(b2)2+中天教育咨詢電話：04768705333第3頁/共9頁 金牌師資，笑傲高考∵ 3222013年數(shù)學VIP講義∴ g(b)f(a)注：本題實際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時曾講過?！纠?】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當|x|≤1時，有|f(x)|≤1，求證：（1）|c|≤1，|b|≤1；（2）當|x|≤1時，|ax+b|≤2。b|≤|a|+|b|，|a1177。?177。就本題來說，還有一個如何充分利用條件“當|x|≤1時，|f(x)|≤1”的解題意識。∵ f(1)=a+b+c，f(1)=ab+c ∴ b=12[f(1)f(1)] 12|f(1)f(1)|≤12[|f(1)|+|f(1)|]≤12(1+1)≤1 ∴ |b|=（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調(diào)性求g(x)=ax+b的值域。當a0時|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對b討論① b≥0時，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b評注：本題證明過程中，還應根據(jù)不等號的方向，合理選擇不等式，例如：既有|ab|≥|a||b|，又有|ab|≥|b||a|，若不適當選擇，則不能滿足題目要求。logbc=4，則下列各式中一定正確的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c已知a，b，c0，且a+bc，設M=a4+a+bb+cc4+c，N=，則MN的大小關系是A、MN B、M=N C、M已知函數(shù)f(x)=xx3，x1，x2，x3∈R，且x1+x20，x2+x30，x3+x10，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負都有可能若a0，b0，x=111(+)2ab1a+b1ab，y=，z=，則A、x≥yz B、x≥zy C、y≥xz D、yz≥x設a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3abb B、abab+ab C、（二）填空題設a0，b0，a≠b，則aabb與abba的大小關系是__________。1當00且t≠1時，logat與log21t+1a22aba+1b+1 D、a+b≥2(ab1)22的大小關系是__________。（三）解答題1已知a0，b0，a≠b，求證：a+1已知a，b，c是三角形三邊的長，求 證：1中天教育咨詢電話：04768705333第5頁/共9頁ab+c+ba+c+ca+b2。金牌師資，笑傲高考1已知a≥0，b≥0，求證：1若a，b，c為正數(shù)，求證：1設a0，b0，且a+b=1，求證：(a+已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求證：a，b，c全為正數(shù)?！?b383+c38。中天教育咨詢電話：04768705333第6頁/共9頁第五篇：不等式證明167。b219。ab，：（1）ab219。a+cb+c（加法保序性）（3）ab,c0222。ab,c0222。anbn,nanb(n206。ac（傳遞性）.這是放縮法的依據(jù).（2）ab,cd222。acbd.（4）ab0,dc0,222。a(a0)219。a2219。x163。a(a0)219。a2219。a或x163。|a177。|a|+|b|（三角不等式）.（4）|a1+a2+L+an|163。+b+c32．a(chǎn),b,c0，求證：abc179。++.3．：a,b,c206。2c2a2bbccaab+4．設a1,a2,L,an206。a1+2++L+..n2232n25．利用基本不等式證明a2+b2+c2179。0,求證：a+b179。An8．證明：對于任意正整數(shù)R，有(1+1n1n+1)(1+).nn+11119．n為正整數(shù)，證明：n[(1+n)1]1+++L+n(n1)1n 課后練習(1)方程xy=105的正整數(shù)解有().（A）一組（B）二組（C）三組（D）四組(2)在0,1,2,?，50這51個整數(shù)中，能同時被2，3，4整除的有（）.（A）