不等式證明20法-在線瀏覽
2024-10-28 23:16本頁面
【正文】 題變易。1。1。例1設(shè)x,y206。+a2。R，1+a2185。0，即(2am)24(1+a2)(m21)179。+a2，故yax163。1標準化法形如f(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn的函數(shù)，其中0xi163。sinnx1+x2+L+xn。2標準化定理：當A+B為常數(shù)時，有sinAsin2證明：記A+B=C，則f(A)=sinA同理，可推廣到關(guān)于n個變元的情形。2228ABC11證明：由標準化定理得，當A=B=C時，sin=sin=sin=，取最大值，故22228ABC1sinsinsin163。例13（1956年波蘭數(shù)學(xué)競賽題）、a,b,c為DABC的三邊長，求證：2a2b2+2a2c2+2b2c2a4+b4+c4。2兩邊平方，移項整理得p(pa)(pb)(pc)，16(SDABC)2=2a2b2+2a2c2+2b2c2a4b4c4 而SDABC0，所以2a2b2+2a2c2+2b2c2a4+b4+c4。例1設(shè)x206。cos2x+3sinx163。83246。證明：f(x)=cos2x+3sinx=12sin2x+3sinx=2231。+24248。當sinx=31時，f(x)取最大值2； 48當sinx=1時，f(x)取最小值－4。cos2x+3sinx163。81單調(diào)函數(shù)法當x屬于某區(qū)間，有f`(x)179。0，則f(x)單調(diào)下降。g(x)，只須證f(a)=g(a)及f`(x)163。[a,b]。2證明：當x=0時，sinx=x=tanx=0，而p(sinx)`=cosx1=x`sec2x=(tanx)` 故得sinxxtanx。例1求證：sinxsiny163。證明：設(shè)f(x)=sinx，則sinxsiny=(xy)sin`x=(xy)cosx 故sinxsiny163。xy。1例1n179。N，求證：1+++L+n(n+11)。1246。1246。1246。+1247。+1247。+1247。2248。3248。n248。2=n23n1構(gòu)造法在證明不等式時，有時通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、復(fù)數(shù)等，可以達到簡捷、明快、以巧取勝的目的。1，a2+b2163。2。1，z2163。z2=(x+yi)2(a+bi)=[a(x2y2)2bxy]+[b(x2y2)+2axy]ib(x2y2)+2axy=Imz1z12(故b(x2y2)+2axy163。1排序法利用排序不等式來證明某些不等式。a2163。an，b1163。L163。a1bt1+a2bt2+L+anbtn163。當且僅當a1=a2=L=an或b1=b2=L=bn時取等號。亂序和163。例1求證：a2+b2+c2+d2179。證明：因為a,b,c,d206。ab+bc+cd+da。a+ma。R+，且ab，求證：b+mb證明：以b為斜邊，a為直角邊作RtDABC延長AB至D，使BD=m，延長AC至E，使ED^AD，過C作AD的平行線交DE于F，則DABC∽DADE，令CE=n，aABa+m=所以=bACb+na+ma+ma=。在實際證明中，以上方法往往相互結(jié)合、互相包含，證題時，可能同時運用幾種方法，結(jié)合起來加以證明。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。：執(zhí)果索因。(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的。二、部分方法的例題換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導(dǎo)致解決失敗。數(shù)學(xué)題目是無限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。當然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時間，這一點在考試時間有限時顯得很重要。解題需要豐富的知識，更需要自信心。有了自信，才能勇往直前，才不會輕言放棄，才會加倍努力地學(xué)習，才有希望攻克難關(guān)，迎來屬于自己的春天。難點：放縮法證明不等式。2，放縮時常使用的方法：①舍去或加上一些項，即多項式加上一些正的值，多項式的值變大，或多項式減上一些正的值，多項式的值變小。②將分子或分母放大（或縮?。悍帜缸兇?，分式值減小，分母變小，分式值增大。N,k1)1111，22kk
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