不等式證明20法-文庫(kù)吧資料
2024-10-28 23:16本頁(yè)面
【正文】 通過(guò)變量替換可以改變問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。放縮法的方法有：(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如(2)利用基本不等式，如：(3)將分子或分母放大(或縮小)：：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。：正難則反?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。一、不等式的初等證明方法：由因?qū)Ч?。第二篇：放縮法證明不等式放縮法證明不等式不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。又CECF，即nm，所以b+mb+nbE另外，還可以利用重要的不等式來(lái)證題，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、絕對(duì)值不等式、貝努利（）不等式、赫爾德（）不等式、三角形不等式、閔可夫斯基（）不等式等，這里不再煩述了。例已知：a,b,m206。幾何法借助幾何圖形，運(yùn)用幾何或三角知識(shí)可使某些證明變易。R有序，所以根據(jù)排序不等式同序和最大，即a2+b2+c2+d2179。ab+bc+cd+da。同序和。簡(jiǎn)記作：反序和163。a1b1+a2b2+L+anbn，1,2,L,n的一個(gè)排列。bn，則有其中t1,t2,L,tn是a1bn+a2bn1+L+anb1163。b2163。L163。排序不等式：設(shè)a1163。2。z2163。z2163。2 所以z1證明：依題設(shè)，構(gòu)造復(fù)數(shù)z1=x+yi，z2=a+bi，則z1163。2，求證：b(x2y2)+2axy163。例1已知：x2+y2163。n+1 23n23n++L+n(n+11)。L=2+所以1+34n+134n+1++L+n232。232。 23n232。+L+231。+231。++L++n=(1+1)+231。230。230。23n證明：因?yàn)?+111230。2，且n206。1分解法按照一定的法則，把一個(gè)數(shù)或式分解為幾個(gè)數(shù)或式，使復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易解的基本問(wèn)題，以便分而治之，各個(gè)擊破，從而達(dá)到證明不等式的目的。(xy)cosx163。xy。1中值定理法利用中值定理：f(x)是在區(qū)間[a,b]上有定義的連續(xù)函數(shù)，且可導(dǎo)，則存在x，axb，滿足f(b)f(a)=f`(x)(ba)來(lái)證明某些不等式，達(dá)到簡(jiǎn)便的目的。例10x，求證：sinxxtanx。g`(x)即可，x206。推廣之，若證f(x)163。0，則f(x)單調(diào)上升；若f`(x)163。2。故4163。8232。sinx247。1230。2。R，求證：4163。1函數(shù)極值法通過(guò)變換，把某些問(wèn)題歸納為求函數(shù)的極值，達(dá)到證明不等式的目的。證明：由海倫公式SDABC=其中p=(a+b+c)。2228例1設(shè)A，B，C為三角形的三內(nèi)角，求證：sin1等式法應(yīng)用一些等式的結(jié)論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。ABC1sinsin163。sinBsin2A+BC=sinAsin(CA)sin2，22求導(dǎo)得f`(A)=sin(C2A)，由f`(A)=0得C=2A，即A=B 又由f``(A)=cos(BA)0知f`(A)的極大值點(diǎn)必在A=B時(shí)取得 由于當(dāng)A=B時(shí)，f`(A)=0，故得不等式。sinB163。nA+B。p，且；當(dāng)x1+x2+L+xn為常數(shù)，則當(dāng)xi的值之間越接近時(shí)，f(x1,x2,L,xn)的值越大（或不變）x1=x2=L=xn時(shí)，f(x1,x2,L,xn)取最大值，即f(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn163。+a2。0，解得m163。0，所以D179。證明：設(shè)m=yax，則y=ax+m代入x2+y2=1中得x2+(ax+m)2=1，即(1+a2)x2+2amx+(m21)=0 因?yàn)閤,y206。R，且x2+y2=1，求證：yax163。1判別式法通過(guò)構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變?cè)亩稳?xiàng)式有實(shí)根時(shí)判別式的取值范圍，來(lái)證明所要證明的不等式。證明：設(shè)a=sinq，則b=cosq；設(shè)x=sinj，則y=cosj 所以ax+by=sinqsinj+cosqcosj=cos(qj)163。例已知：a2+b2=1，x2+y2=1，求證：ax+by163。0），33所以ab+bc+ca163。11(1+a+a2)t2163。235。232。235。232。232。232。234。+231。234。+231。231。ab+bc+ca=231。233。230。233
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1