【正文】 n2第二篇：巧用構(gòu)造法證明不等式巧用構(gòu)造法證明不等式構(gòu)造法是指在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，為了完成由條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造輔助元素，架起一座溝通條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得到解決。1,y179。++xy，xyxy（Ⅱ）1163。b163。logba+logcb+：∵x179。1，所以要證明原不等式成立，則只需證xy(x+y)+1163。(,1).函數(shù)當(dāng)y1時，二次函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸x=+22y2f(x)在[1,+165。f(1)=y2y+1y2+y1=0所以111x+y+163。a2bc8a+7=0237。b+c+bc6a+6=0求證：1163。=a28a+7證明：由已知得237。b+c=177。(a1)x+a28a+7=0所以D=[177。0，即a210a+9163。a163。(a+b+c)證明：由于a2+ab+b2=+b22abcos1200，構(gòu)造三角形ABC，如 q D B使AC=b,BC=a,208。1，所以AB179。同理：b2+bc+c2179。由①②③得a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ca+a2179。第三篇：構(gòu)造法證明不等式構(gòu)造法證明不等式由于證明不等式?jīng)]有固定的模式，證法靈活多樣，技巧性強(qiáng)，、構(gòu)造一次函數(shù)法證明不等式有些不等式可以和一次函數(shù)建立直接聯(lián)系，通過構(gòu)造一次函數(shù)式，利用一次函數(shù)的有關(guān)特性，≤a、b、c≤2，求證：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+：視a為自變量，構(gòu)造一次函數(shù)=4a+b+c+abc2ab2bc2ca=(bc2b2c+4)a+(b+c2bc)，由0≤a≤2，=b+c2bc=(bc)≥0，=b+c4b4c+8=(b2)+(c2)≥0，可見上述線段在橫軸及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+、構(gòu)造二次函數(shù)法證明不等式對一些不等式證明的題目，若能巧妙構(gòu)造一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的有關(guān)特性，、b、c滿足(a+c)(a+b+c)4a(a+b+c).證明：由已知得a=0時，b≠c，否則與(a+c)(a+b+c)4a(a+b+c)≠0時，構(gòu)造二次函數(shù)=ax+(bc)x+(a+b+c)，則有=a+b+c，=2(a+c)，而ln(x+1)163。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x32三、換元法構(gòu)造函數(shù)證明【例3】（2007年山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（111+1)23都成立． nnn四、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足不等式xf39。0，f(x)=x1ln2x+2alnx．求證：當(dāng)x1時，恒有xln2x2alnx+1．（2007年，安徽卷）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=1x12x+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中2a0，且b= 52a3a2lna，求證：f(x)179。1． 1+xa（2007年，陜西卷）f(x)是定義在(0 , +165。(x)f(x)163。bf(a)B．bf(a)163。f(b)D．bf(b)163。(x)=，∴當(dāng)1x0時，f162。(1 , 0)上為增函數(shù)；當(dāng)x0時，f162。(0 , +165。)；于是函數(shù)f(x)在(1 , +165。f(0)=0，即ln(x+1)x163。x（右面得證）．現(xiàn)證左面，令g(x)=ln(x+1)+11x1=1，則g162。(1 , 0)時，g39。(0 , +165。(x)0，即g(x)在x206。(0 , +165。)上的最小值為g(x)min=g(0)=0，11179。ln(x+1)163。1．綜上可知：當(dāng)x1時，有x+1x+1∴當(dāng)x1時，g(x)179。f(a)（或f(x)179。不等式f(x)g(x)在(1 ,+165。)上，恒有x2+lnxx3成立，23231設(shè)F(x)=g(x)f(x)，x206。)，考慮到F(1)=0，要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋?立問題，即當(dāng)x1時，F(xiàn)(x)F(1)，這只要證明：g(x)在區(qū)間(1 ,+165。(x)=2xx=；當(dāng)x1時，F(xiàn)39。)上為增函數(shù)，∴F(x)F(1)=10，∴當(dāng)x1時，g(x)f(x)0，即6f(x)g(x)，故在區(qū)間(1,+165。(x)=3x2x+=x+1x+1322在x206。)上恒正，∴函數(shù)h(x)在(0 , +165。(0 , +165。(0 , +165。(x)0即可．例4．【解析】由已知：xf39。(x)=xf39。(x)+f(x)，容易想到是一個積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x)，求導(dǎo)即可完成證明．若題目中的條件改為xf162。(x)f(x)，要想到是一個商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時解題多注意總結(jié)．例5．【分析】 對于第（2）小問，絕大部分的學(xué)生都會望而生畏．學(xué)生的盲點(diǎn)也主要就在對所給函數(shù)用不上．如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，由此就可過渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達(dá)到證明不等式的目的．（2）對g(x)=xlnx求導(dǎo)，則g39。(x)=g39。=lnxln． 222當(dāng)0xa時，F(xiàn)39。(x)0，因此F(x)在(a , +165。(x)=lnxlna+xG39。)2a+b)(ba)ln2． 2上為減函數(shù)，∵G(a)=0，ba，∴G(b)0，即g(a)+g(b)2g(例6．【解析】（1）f39。(x)179。R恒成立，即a179。R恒成立；記g(x)=xex，則g39。(x)0；當(dāng)x1時，g39。 , 1)上為增函數(shù)，在(1 , +165。即a的取值范圍是[ , +165。(x)=exx1，2令h(x)=F39。(x)=ex1；當(dāng)x0