構造法證明不等式5-展示頁
2024-10-28 01:37本頁面
【正文】 +y3,2x+y6)模的平方，又a|b|，所以x9x2當且僅當b=la,(l0)時等號成立，故由 =解得：x=,λ=1，即 x =時，等號成立。b163。證明：不等式左邊可看成坐標表示，將左邊看成向量a=(與 x 和與x2兩兩乘積的和，從而聯(lián)想到數(shù)量積的,)與b=(x, 9x2)的數(shù)量積，7x+2(9x2)163。一、構造向量證明不等式（不會也可以）例1：證明x+2(9x2)163。第一篇：構造法證明不等式5構造法證明不等式（2）（以下的構造方法要求過高，即使不會也可以，如果沒有時間就不用看了）在學習過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，多種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時不妨變換一下思維角度，從不等式的結構和特點出發(fā)，構造一個與不等式相關的數(shù)學模型，實現(xiàn)問題的轉化，從而使不等式得到證明。9，并指出等號成立的條件。()2+(2)2x2+(9x2)=9又a|a|2（1－y)例2：求證：1+(x+y3)2+(2x+y6)2179。b163。|b|，為使a于是|a|b＝（1－y)2+(2x+y6（）1 2（1－y)即1+(x+y3)2+(2x+y6)2179。2二、構造復數(shù)證明不等式（這種方法不作要求，如果有興趣了解一下就可以了）22例求證：x+y+證明：從不等式左邊的結構特點容易聯(lián)想到復數(shù)的模，將左邊看成復數(shù)Z1=x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x + y i，Z4 = 1－ x +（1－y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1+z2+z3+z4可得：x2+y2+x2+(1y)2+(1x)2+y2+(1x)2+(1y)2179。三、構造幾何圖形證明不等式例4：已知：a0、b0、c0 ,求證：a2ab+b2+b2bc+c2179。bac證明：從三個根式的結構特點容易聯(lián)想到余弦定理，于是可構造如下圖形，使OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60176。AB=圖（1）a2ab+b2，BC=b2bc+c2,AC=a2+ac+c2由幾何知識可知：AB＋BC≥AC，∴a2ab+b2+b2bc+c2≥a2+ac+c2 當且僅當A、B、C三點共線時等號成立，此時有111absin60176。=acsin120176。bac四、構造橢圓證明不等式例5：求證：證明：42 163。3349x2的結構特點，使我們聯(lián)想到橢圓方程及數(shù)形結合思想。0)，則其圖象是橢圓的上半部分，49設y2x=m，于是只需證42,163。33因 m為直線y=2x＋m在y軸上的截距，由圖（2）可知：當直線 y = 2 x＋m 過點（24，0）時，m有最小值為m=； 33當直線y =2x＋m與橢圓上半部分相切時，m有最大值。y=2x+m2 2得：13x+ 4mx + m– 4 = 0 237。9x+y=4令△= 4（52－9m2）=0 得：m=22或m=（去）33即m的最大值為424，故163。即163。 33333五、構造方程證明不等式例6：設 aa…an 為任意正數(shù)，證明對任意正整數(shù)n不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …+ an2)均成立證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0由此聯(lián)想到根的判別式而構造一元二次方程：(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0當aa…an不全相等時，a1 x+a2 x+…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數(shù)，方程（＊）顯然無解。n 1a21b21ab證明：不等式中各分式的結構特點與題設聯(lián)想到無窮等比數(shù)列（| q | 1）各項和公式S＝a1，1q則：11+=（1 + a2 + a4 + …）+（1 + b2 + b4 + …）221a1b=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ …≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … = 2 1ab七、構造函數(shù)證明不等式例9：已知 | a | 1，| b | 1，| c | 1，求證：ab＋bc＋ca＞－1證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋10 ……①將a看作自變量，于是問題轉化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數(shù)。若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數(shù)，f(a)在（－1,1）上為單調函數(shù) 而 f(1)=－b－c + bc +1＝（1－b）（1－c）＞0f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1此題還可由題設構造不等式：（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0（1－a）（1－b）（1－c）＞0兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1八、構造對偶式證明不等式例10：對任意自然數(shù)n，求證：(1+1)(1+11)…(1+)43n2證明：設an =(1+1)(1+112583n43n1)…(1+)= … 43n21473n53n23693n33n47103n23n+1…， = … 2583n43n13693n33n構造對偶式：bn =Q1+∴an 111131+1+，即an bn，an ，∴an，1+ an bn 3n23n13n23n11)，即：(1+1)(1+)…(1+43
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