對(duì)構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的再研究-展示頁(yè)
2024-10-26 17:38本頁(yè)面
【正文】 式）【例7】證明：當(dāng)x0時(shí)，(1+x)1+xe1+2．（2007年，安徽卷）設(shè)a179。x． x+1二、作差法構(gòu)造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù)f(x)=的圖象的下方．2312x+lnx，求證：在區(qū)間(1 ,+165。第二篇：構(gòu)造法證明函數(shù)不等式構(gòu)造法證明函數(shù)不等式利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)．解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵．一、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)【例1】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當(dāng)x1時(shí)，恒有11163。第一篇：對(duì)構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的再研究龍?jiān)雌诳W(wǎng) ://.對(duì)構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的再研究作者：時(shí)英雄來(lái)源：《理科考試研究高中》2013年第10期某刊一文闡述了構(gòu)造法證明不等式的九個(gè)模型，筆者深受啟發(fā)，對(duì)其中作者介紹的構(gòu)造函數(shù)模型進(jìn)行了挖掘，著重對(duì)構(gòu)造函數(shù)模型，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決不等式問題進(jìn)行了再研究，以供大家參考。ln(x+1)163。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x32三、換元法構(gòu)造函數(shù)證明【例3】（2007年山東卷）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln（111+1)23都成立． nnn四、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足不等式xf39。0，f(x)=x1ln2x+2alnx．求證：當(dāng)x1時(shí)，恒有xln2x2alnx+1．（2007年，安徽卷）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=1x12x+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中2a0，且b= 52a3a2lna，求證：f(x)179。1． 1+xa（2007年，陜西卷）f(x)是定義在(0 , +165。(x)f(x)163。bf(a)B．bf(a)163。f(b)D．bf(b)163。(x)=，∴當(dāng)1x0時(shí)，f162。(1 , 0)上為增函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，f162。(0 , +165。)；于是函數(shù)f(x)在(1 , +165。f(0)=0，即ln(x+1)x163。x（右面得證）．現(xiàn)證左面，令g(x)=ln(x+1)+11x1=1，則g162。(1 , 0)時(shí)，g39。(0 , +165。(x)0，即g(x)在x206。(0 , +165。)上的最小值為g(x)min=g(0)=0，11179。ln(x+1)163。1．綜上可知：當(dāng)x1時(shí)，有x+1x+1∴當(dāng)x1時(shí)，g(x)179。f(a)（或f(x)179。不等式f(x)g(x)在(1 ,+165。)上，恒有x2+lnxx3成立，23231設(shè)F(x)=g(x)f(x)，x206。)，考慮到F(1)=0，要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋?立問題，即當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x)F(1)，這只要證明：g(x)在區(qū)間(1 ,+165。(x)=2xx=；當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)39。)上為增函數(shù)，∴F(x)F(1)=10，∴當(dāng)x1時(shí)，g(x)f(x)0，即6f(x)g(x)，故在區(qū)間(1,+165。(x)=3x2x+=x+1x+1322在x206。)上恒正，∴函數(shù)h(x)在(0 , +165。(0 , +165。(0 , +165。(x)0即可．例4．【解析】由已知：xf39。(x)=xf39。(x)+f(x)，容易想到是一個(gè)積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x)，求導(dǎo)即可完成證明．若題目中的條件改為xf162。(x)f(x)，要想到是一個(gè)商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時(shí)解題多注意總結(jié)．例5．【分析】 對(duì)于第（2）小問，絕大部分的學(xué)生都會(huì)望而生畏．學(xué)生的盲點(diǎn)也主要就在對(duì)所給函數(shù)用不上．如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，由此就可過(guò)渡到根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達(dá)到證明不等式的目的．（2）對(duì)g(x)=xlnx求導(dǎo)，則g39。(x)=g39。=lnxln． 222當(dāng)0xa時(shí)，F(xiàn)39。(x)0，因此F(x)在(a , +165。(x)=lnxlna+xG39。)2a+b)(ba)ln2． 2上為減函數(shù)，∵G(a)=0，ba，∴G(b)0，即g(a)+g(b)2g(例6．【解析】（1）f39。(x)179。R恒成立，即a179。R恒成立；記g(x)=xex，則g39。(x)0；當(dāng)x1時(shí)，g39。 , 1)上為增函數(shù)，在(1 , +165。即a的取值范圍是[ , +165。(x)=exx1，2令h(x)=F39。(x)=ex1；當(dāng)x0時(shí)，h39。)上為增函數(shù)，又h(x)在x=0處連續(xù)，∴h(x)h(0)=0，即F39。)上為增函數(shù)，又F(x)在x=0處連續(xù)，∴F(x)F(0)=0，即f(x)1+x．【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)函數(shù)取最大（或最?。┲禃r(shí)不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把不等式的恒成立問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．不等式恒成立問題，一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為mf(x)（或mf(x)）恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最 值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法．例7．【解析】 對(duì)不等式兩邊取對(duì)數(shù)得(1+)ln(1+x)1+1xx，化簡(jiǎn)為2(1+x)ln(1+x)2x+x2，2(l1+x)，設(shè)輔助函數(shù)f(x)=2x+x22(1+x)ln(
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