對構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的再研究(已改無錯字)
2024-10-26 17 本頁面
【正文】 +4=(3n+2)(3n+1)(3n+4)＞1，∵f(n)＞0，∴f(n+1)＞f(n)，即f(n)是自然數(shù)集N上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴(1＋1)(1＋14)…(1＋13n2)＞33n+1．第四篇：巧用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式構(gòu)造函數(shù)法證明不等式一、構(gòu)造分式函數(shù)，利用分式函數(shù)的單調(diào)性證明不等式【例1】證明不等式：|a|+|b||a+b|1+|a|+|b|≥1+|a+b|證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x1+x(x≥0)則f(x)=x1+x=111+x在[0，+165。)上單調(diào)遞增∵f(|a| + |b|)=|a|+|b|1+|a|+|b|f(|a + b|)=|a+b|1+|a+b|且|a| + |b|≥|a + b|∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|)即所證不等式正確。二、利用分式函數(shù)的奇偶性證明不等式【例2】證明不等式：x12x＜x2（x≠0）證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x12xx2(x185。0)∵f(x)=xxx2x12x+2=2x1+x2=x12x[1(12x)]+x2=x12xx2=f(x)∴f(x)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱。當(dāng)x＞0時，12x＜0，f(x)＜0；當(dāng)x＜0時，x＞0,故f(x)=f(x)＜0 ∴x12xx2＜0，即x12x＜x2三、構(gòu)造一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性證明不等式【例3】已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求證：a + b + c＜abc + 2。證明：構(gòu)造函數(shù)f(c)=(1ab)c + a + b2∵|a|＜1，|b|＜1∴1＜ab＜1，1ab＞0∴f(c)的（1，1）上是增函數(shù)∵f(1)=1ab + a + b2=a + b–ab1=a(1b)=(1c)2＞4a(a + b + c)。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax2 +(b + c)x +(a + b + c)(a≠0)則f(0)=a + b + c，f(1)=2(a + c)由(a + c)(a + b + c)＜0知：f(0)?f(1)＜0 ∴f(x)=0有兩個不等的實數(shù)根?！唷鳎?，即(bc)2＞4a(a + b + c)【例5】已知實數(shù)a，b，c滿足a + b + c = 5，a2 + b2 + c2= 9，求證a，b，c的值都不小于1，又都 不大于213。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x2+ 2(a + b)x + a2 + b2=(x + a)2 +(x + b)2 ≥0∵2＞0∴△=[2(a+b)]242(a2 + b2)≤0∴△=4(5c)28(9c2)≤0 ∴(c1)(3c7)≤0∴1≤c≤213同理可證：1≤a≤21，1≤b≤2133?！纠?】已知a，b，c∈R，證明：a2 + ac + c2 + 3b(a + b + c)≥0，并指出等號何時成立？證明：令f(a)= a2 +(c + 3b)a + c2 + 3b2+ 3bc△=(c + 3b)24(c2 + 3b2 + 3bc)=3(b + c)2≤0 恒成立 ∵二次項系數(shù)1＞0∴f(a)≥0，即 a2 + ac + c2 + 3b(a + b + c)≥0又當(dāng)△=0，即b + c = 0時f(a)=(a + b)2= 0 ∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時才能取等號。⒉利用一元二次方程根的分布證明不等式【例7】設(shè)a + b + c=1，a2 + b2 + c2 =1，且a＞b＞c，求證：13＜c＜0證明：∵a + b + c=1∴a + b =1c有a2 + b2 + 2ab=1c∴a，b是方程x2(1c)x+c2c=0的兩個實數(shù)根∵a＞b＞c，故方程有大于c的兩個不等的實數(shù)根構(gòu)造函數(shù)f(x)= x2(1c)x+c2c，則有：236。239。D=(1c)24(c2c)＞0239。237。1c＞c239。2239。238。f(c)＞0∴13＜c＜0⒊綜合運用判別式法、一元二次方程根的分布證明不等式【例8】設(shè)a，b是兩個不等于0的實數(shù)，求證：下列不等式中至少有一個成立。a+a2+2b22b1，aa2+2b22b1證明：設(shè)f(x)=bx2axb2(b≠0)∵△=(a)22b(b)=a2+2b2＞0∴拋物線與x軸必有兩個交點，其橫坐標(biāo)為x=a177。a2+2b22b∴f(1)=b2+af(0)= b2f(1)= b2a⑴當(dāng)b＞0時，f(0)＜0若a＞0,則f(1)＞0∴點A（1，f(1)）在x軸上方，點B（0，f(0)）在x軸下方∴拋物線與x軸在（1，0）內(nèi)必有一個交點，此時有aa2+2b22b1 若a＜0，則f(1)＞0 ∴點C(1，f(1))在x軸上方 ∴拋物線與x軸在（0，1）內(nèi)必有一個交點，此時有 a+a2+2b22b1 ⑵當(dāng)b＜0時，f(0)＞0，此時點B在x軸下方，同理可證A點和C點至少有一點 在x軸上方。故兩個不等式至少有一個成立。構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，關(guān)鍵在于找到能夠反映所要證不等式特征的合適的函數(shù)，從而就可以利用該函數(shù)的性質(zhì)去證明不等式。第五篇：構(gòu)造函數(shù)證明不等式在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法。一般對與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過等價轉(zhuǎn)化為
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