不等式證明,均值不等式(已改無錯字)
2024-11-03 17 本頁面
【正文】 (a1a2Lan1)n1179。n(a1a2Lan)n．所以y(n)179。y(n1)，當(dāng)且僅當(dāng)an=(a1a2Lan1)立．n1，即ann1=a1a2Lan時等號成1此題不只是公式的直接應(yīng)用．代表了均值不等式中需要挖掘信L、an 的一類題． 息找aa例2設(shè)x+y+z=0，求證：6(x3+y3+z3)2163。(x2+y2+z2)3． 證明當(dāng)x=y=z=0時不等式顯然成立．除此情況外，x、y、z中至少有一正一負．不妨設(shè)xy0，因為z=(x+y)，所以I=6(x+y+z)=6[x+y(x+y)]=6[3xy(x+y)]=54xyz．若由此直接用G(a)163。A(a)(n=3)，只能得到較粗糙的不等式I=54xyz163。54（x+y+z2)=2(x+y+z)，32223如果改用下面的方法，用G(a)163。A(a)，便得I=54xyz222=216xy2xy2z230。xy246。xy2231。++z247。247。=(2z2+2xy)3，163。216231。231。247。3231。247。232。248。再注意到x2+y2=(x+y)22xy=z2+2xy，因而2z2+2xy=x2+y2+z2，于是即得欲證的不等式．此題解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造aaL、an通常需要拓寬思路多次嘗試，此類也屬均值不等式的常考類題． 例3設(shè)x0，證明：2x+2x179。22x．(第16屆全蘇數(shù)學(xué)競賽試題[2])證明此不等式的外形有點像均值不等式． 由G(a)163。A(a)，得x+2xx+2x179。22x2x=22，又x+2x1111179。(x12x4)2=x6，即得要證的不等式．結(jié)語有些不等式則可以利用某個已經(jīng)證明成立的不等式來證明(因此多熟悉幾個比較常見的不等式是有好處的)；有些不等式還要用數(shù)學(xué)歸納法來證明等等．而且在一個題目的證明過程中，也往往不止應(yīng)用一種方法，而需要靈活運用各種方法．因此，要培養(yǎng)和提高自己的證題能力。參考文獻[1]陳傳理等編．?dāng)?shù)學(xué)競賽教程 [M]．北京：高等教育出版設(shè)，1996，(10)：133134．[2]常庚哲等編．高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1987．3849第五篇：均值不等式的證明均值不等式的證明設(shè)a1,a2,a3...an是n個正實數(shù)，求證(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要簡單的詳細過程，謝謝??！你會用到均值不等式推廣的證明，估計是搞競賽的把對n做反向數(shù)學(xué)歸納法首先歸納n=2^k的情況k=1。k成立k+1。這些都很簡單的用a+b=√(ab)可以證明得到關(guān)鍵是下面的反向數(shù)學(xué)歸納法如果n成立對n1，你令an=(n1)次√(a1a2...a(n1)然后代到已經(jīng)成立的n的式子里，整理下就可以得到n1也成立。所以得證n=2^k中k是什么范圍k是正整數(shù)第一步先去歸納2，4，8，16，32...這種2的k次方的數(shù)一般的數(shù)學(xué)歸納法是知道n成立時，去證明比n大的時候也成立。而反向數(shù)學(xué)歸納法是在知道n成立的前提下，對比n小的數(shù)進行歸納，指“平方平均”大于“算術(shù)平均”大于“幾何平均”大于“調(diào)和平均”我記得好像有兩種幾何證法，一種三角證法，一種代數(shù)證法。請賜教!sqrt{}≥(a1+a2+..an)/n≥n次根
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