【正文】 ax﹣lnx，a∈R．（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；2（2）令g（x）=f（x）﹣x，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；（3）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，證明：．8．已知函數(shù)f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45176。g(x)2x，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b，1+x已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)恒有l(wèi)nalnb179。(2)若a=1,求證:x＞0時(shí),f(x)1+x x解：(1)f′(x)＝ ae－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上為增函數(shù)，∴f′(x)≥０對(duì)ｘ∈Ｒ恒成立，ｘ即ａ≥ｘｅ對(duì)ｘ∈Ｒ恒成立 記ｇ（ｘ）＝ｘｅ，則ｇ′(ｘ)＝ｅ－ｘｅ=(1x)e，當(dāng)ｘ＞１時(shí)，ｇ′（ｘ）＜０，當(dāng)ｘ＜１時(shí)，ｇ′（ｘ）＞０． 知ｇ（ｘ）在(∞,1)上為增函數(shù),在(1,+ ∞)上為減函數(shù), ∴g(x)在x=1時(shí),取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e, 即a的取值范圍是[1/e, + ∞)x(2)記F(X)=f(x)－(1+x)=exｘｘｘx12x1x(x0)2則F′(x)=e1x, xx令h(x)= F′(x)=e1x,則h′(x)=e1 當(dāng)x0時(shí), h′(x)0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上為增函數(shù), 又h(x)在x=0處連續(xù), ∴h(x)h(0)=0 即F′(x)0 ,∴F(x)在(0,+ ∞)上為增函數(shù),又F(x)在x=0處連續(xù), ∴F(x)F(0)=0,即f(x)1+x．（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）例：證明當(dāng)x0時(shí),(1+x)1+1xe1+x2例：證明當(dāng)bae,證明ab例：已知m、n都是正整數(shù)，且1mn,證明：(1+m)(1+n)強(qiáng)化訓(xùn)練：設(shè)a179。39。(x)+f(x)0 ∴構(gòu)造函數(shù) F(x)=xf(x)，則F(x)= xf162。)，則有l(wèi)n(+1)23 nnnn從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf162。)時(shí)，恒有h(x)h(0)=0，即xx+ln(x+1)0，∴l(xiāng)n(x+1)xx 對(duì)任意正整數(shù)n，取x=32231111206。)上單調(diào)遞增，∴x206。(0,+165。3111+1)23 =x n32【解】令h(x)=xx+ln(x+1)，13x3+(x1)2=則h162。)上為增函數(shù)，∴F(x)F(1)=∴當(dāng)x1時(shí) g(x)f(x)0，即f(x)g(x)，故在區(qū)間(1,+165。(x)=2xx=xx21(x1)(2x2+x+1)當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)162。g(0)=0，即ln(x+1)+作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例2】已知函數(shù)f(x)=12x+：在區(qū)間(1,+165。x ∴l(xiāng)n(x+1)179。0 x+1111163。)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(1,+165。(1,0)上為減函數(shù)，在x206。)時(shí),g162。當(dāng)x206。(1,0)時(shí),g162。x（右面得證）現(xiàn)證左面，令g(x)=ln(x+1)+111x1，則g162。f(0)=0，即ln(x+1)x163。)于是函數(shù)f(x)在(1,+165。(0,+165。(1,0)上為增函數(shù)當(dāng)x0時(shí)，f162。x x+11x1= x+1x+1∴當(dāng)1x0時(shí)，f162。(x)=1163。g(x)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x1+x，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b, 恒有l(wèi)nalnb179。(2)若a=1,求證:x＞0時(shí),f(x)1+x主元法構(gòu)造函數(shù)【例8】（全國）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x,g(x)=xlnx(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)0ab,證明 ：0g(a)+g(b)2g(a+b2)(ba)ln2.【思維挑戰(zhàn)】（2007年，陜西）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf162。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=23x3的圖象的下方； 分析：函數(shù)f(x)圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方219。(x)－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足ab，求證：．a(chǎn)f(a)bf(b)【變式1】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式f(x)f162。根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。ln(x+1)163。第一篇：構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)【例2】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當(dāng)x1時(shí)，恒有11163。x x+111，從其導(dǎo)數(shù)入手即x+1分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(x+1)+可證明。從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例1】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf162。(x)，且y=f(x)(x)(x+2015)2f(x+2015)4f(2)、作差法構(gòu)造函數(shù)證明 【例3】已知函數(shù)f(x)=12x2+：在區(qū)間(1,+165。不等式f(x)g(x)問題，設(shè)F(x)=g(x)f(x)換元法構(gòu)造函數(shù)證明【例4】（2007年，山東卷）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(1n+1)11n2n3 ：本題是山東卷的對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）【例5】證明當(dāng)x0時(shí),(1+x)1+1xe1+x2構(gòu)造形似函數(shù)【例6】證明當(dāng)bae,證明abba構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 【例7】已知函數(shù)f(x)=aex12x2(1)若f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍。(x)f(x)≤0，對(duì)任意正