【正文】 +y22kxy=163。[(akb+(kxy)]=axby)故axby163。,b,c206。32證明，給每個式子配以常數(shù)k有a+b+cb+cc+aa+b+3=(abcb+c+1)+（c+a+1)+(a+b+1)=(a+b+c)(1b+c+1c+a+1a+b)=1112[(b+c)+(c+a)+(a+b)](b+c+1c+a+a+b)179。3=32，當(dāng)a=b=c時，可以取等號，故命題得證。,y,z是不全為零的實數(shù)，求證xy+2yzx2+y2+z163。231。230。232。247。231。247。232。+2248。1231。232。248。230。x2+y2246。212246。22a247。231。bz247。=a2x2+230。21231。y+z2232。b令a=1+b=1即a=b=22ab解xy+2yz163。向量做為中學(xué)數(shù)學(xué)一種新的工具，具在證明不等式中有時能達(dá)到異曲同工之效。ar+br+cr代入原式成立易知x=y=z=13時取等號。+b+c206。證：令A(yù)＝1a,B=b,C1=c,則A，B，C206。235。233。++235。392－3＝32即原命題得證 注：倒數(shù)變換方法實質(zhì)是通過變換達(dá)到化繁為簡的目的，或?qū)⒉皇煜さ牟坏仁睫D(zhuǎn)化為熟透的不等式，需要注意的是，變量代換后的取值范圍可能有變化6分母置換法一般地，在分子不等式中當(dāng)一個分式的分子較簡捷而分母相對較復(fù)雜時，通過對分母進(jìn)行代換可以使解題思路變得更順暢。+，R求證a+bcb+3c8c+49a3+47a2。y4x246。z98231。+x248。+246。4z232。++9z246。x248。232。248。y4x246。z9x246。4z8231。61232。+248。+232。+248。232。248。118*4+16*6+16*126148=4748當(dāng)且僅當(dāng)y=2x,z=3x時取等號。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué).”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又提示其幾何直觀使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形像巧妙和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，有時能使問題化難為易，化繁為簡。0,x2+(yz)2=1,求證：5163。6證：令z=x+y+4230。232。x2+y=該式，的分子可視為點P(,x)y到直線l=x+=0的距離平方，分母可視為P點與原點的距離平方，因此利用幾何意義將原問題進(jìn)行代換，作PA⊥l于點A設(shè)∠AOP=q60o163。90o,PA=易知OP=以sinq＝PAOP,163。1此時w－2＝4s2qi206。\5163。這是一種比較特別又新穎的解法，雖然不常見，但有些不等式題采用此法可以顯得很容易。R,求證163。in證:令u=sin(ab)+sin(bg)+sin(ga)則u=sinacosb+sinbcosg+singcosasinbcosasingcosbsinacosgsinacosa1=sinbcosb1singcosg構(gòu)造點A(sab)B(ibb)C(nsgg)則u=SVABCn很明顯,上面三點A,B,C都在單位圓x2+y2=1上因為圓內(nèi)接三角形以正三角形的面積最大所以當(dāng)VABC為正三角形時,SVABC取得最大值,于是u163。證:由條件解b(+(a)z(x+)(b+c))0即b 2bcx+a2b2c2=0故2x=b+ca2bc同理可得y=c2+abbc+a2ac,z=2ab因a,b,c,x,y,z均為正數(shù),綜合上面3式可得b2+c2a2,a2+c2b2,a2+b2c2故以a,b,=cosA,y=cosB,z=cosC 則原不等式轉(zhuǎn)化為cos2Acos2Bcos2++C1+cosA1+cosB1+cosC179。R+,uv+vw+wu=1u2+1=(u+v)(u+w),且v2+1=(u+v)(v+w),w2+1=(u+w)(r+w),因此wcos2A21+cosA+1+xa+yc=au2u=2=bza3=u2=u179。11246。+232。248。11246。v2231。u+v+u+w247。cos2C3230。ww2231。u+w+246。248。u2+v2+w21230。2231。u+vu+v247。=u2+v2+w21233。)249。=12(uv+vw+uw)=當(dāng)且僅當(dāng)u=v=w時等號成立 此時a=b=c,x=y=z=12對于和式型不等式,不妨先研究局部性質(zhì),導(dǎo)出一些局部不等式,y,z206。.(1x8)意到8x(1x)=8x(1x8)(1x81444424)L4(144x3)8個233。234。8246。235。231。232。248。=x從而x41x8=xx(1x)=8同理yy4z3z41y179。故x1x+L179。C中式子A的各項為形如mm177。n的式子B,那么AB必定是一個整式形式,再對A++1xLxn206。1nn1.n證明:令不等式左邊=A,B=229。1x2ni=229。1+xi1+1+nxii=11x=229。229。2231。i)i=1232。247。=n+2n1n2B2\A179。1n1,不等式中的各項是mm177。n或m177。R+且x+y+z=:證:經(jīng)配方解x2+y2+xy=230。2231。x+246。+248。231。2 248。1231。230。232。+248。231。2z247。248。1231。230。232。+248。231。232。248。230。x+y247。248。230。y+z247。248。230。z+x247。2232。z1+z2+z3=32(x+y+z)+x+y+z)i=(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=時,等號成立),不過從上面這些證法可以看出遇到不等式證明定要想辦法把它向我到熟悉的不等式轉(zhuǎn)化,這是各種證法的共同特征，應(yīng)該說也是證明所有不等式的共同突破口。1比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。當(dāng)求證的不等式兩端是分項式（或分式）時，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時常用作商比較）例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來說明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252證明：∵ a0，b0，a+b=1∴ab≤14或1ab≥4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)22ab］+(a+b)22aba2b2=4+(12ab)+12aba2b2≥4+(112)+8=252練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+3求證：2f（n）≤f（2n）4分析法從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項（或負(fù)項），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?，（3）擴(kuò)大（或縮小）分式的分子（或分母）等。證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1