【正文】 n+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）（3）若a、b同號(hào)，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時(shí)，等號(hào)成立練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。z2=231。2247。246。n的形式,然后再應(yīng)用上述配復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,三角形式與幾何形式將代數(shù),巧妙運(yùn)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)也可以使很多問題”柳暗花明”,y,z206。(1+xi)=n+1i=11xii=1nn222B+A=229。(u2uv+v2)+(v2vw+w2)+(u2uv+w22235。248。三角函數(shù)蘊(yùn)涵著豐富的公式與性質(zhì),求運(yùn)用這些公式與性質(zhì)巧妙地解決某些不等式的證明問題 例,b,c,x,滿y足zcy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c求證:xy1+x+1+y+z1+z179。z2=(x)231。6231。61232。179。,y,z是非負(fù)實(shí)數(shù)，具x+y+z＝1求證：證：構(gòu)造向量：ar=(x+y,x,y),br=(y+z,y,z),則cr=(z+x,z,x).ar+br+cr=(2,1,1),由ar+br+cr179。232。248。12(1+1+1)=所以abb+c+c+a+c9a+b179。第一篇：證明不等式的幾種方法證明不等式的幾種方法黃啟泉04數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)1班30號(hào)近幾年來,有關(guān)不等式的證明問題在高考、競(jìng)賽中屢見不鮮，由于不等式的證明綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的思維靈活性與創(chuàng)造性要求較高，因此，許多考生往往“望題生嘆”，本人通過對(duì)該類題目認(rèn)真分析與研究，總結(jié)以下幾種解題方法，下面結(jié)合一些熱點(diǎn)題加以簡(jiǎn)要的介紹。32證明，給每個(gè)式子配以常數(shù)k有a+b+cb+cc+aa+b+3=(abcb+c+1)+（c+a+1)+(a+b+1)=(a+b+c)(1b+c+1c+a+1a+b)=1112[(b+c)+(c+a)+(a+b)](b+c+1c+a+a+b)179。247。212246。向量做為中學(xué)數(shù)學(xué)一種新的工具，具在證明不等式中有時(shí)能達(dá)到異曲同工之效。3++9z246。+248。6證：令z=x+y+4230。in證:令u=sin(ab)+sin(bg)+sin(ga)則u=sinacosb+sinbcosg+singcosasinbcosasingcosbsinacosgsinacosa1=sinbcosb1singcosg構(gòu)造點(diǎn)A(sab)B(ibb)C(nsgg)則u=SVABCn很明顯,上面三點(diǎn)A,B,C都在單位圓x2+y2=1上因?yàn)閳A內(nèi)接三角形以正三角形的面積最大所以當(dāng)VABC為正三角形時(shí),SVABC取得最大值,于是u163。u+v+u+w247。=u2+v2+w21233。231。1x2ni=229。n或m177。230。232。230。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來說明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2q∴p3＞（2q）3=812q+6q2q3將p3+q3 =2，代入得 6q212q+6＜0即6（q1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤2練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞：a＞0，b＞0，c＞08數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通?？紤]用數(shù)學(xué)歸納法來證明。,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz錯(cuò)解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz錯(cuò)因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡(jiǎn)得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz 設(shè)x+y0，n為偶數(shù)，求證yn1xn+xn1yn≥1x 1y錯(cuò)證：∵yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnynn為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xnyn和xn1yn1同號(hào)，∴yn1xn+xn1yn≥ 1x1y錯(cuò)因：在x+y0的條件下，n為偶數(shù)時(shí)，xnyn和xn1yn1不一定同號(hào)，應(yīng)分x、y同號(hào)和異號(hào)兩種情況討論。+1≤na1a2188。2bc,a0,\a(b2+c2)179。1,求證：| x2+2xyy2|≤：令x=rcosq,y=rsinq則 | x2+2xyy2|=|r2(cos2q+2sinqcosqsin2q| =r2|cos2q+sin2q| = r2|2sin(2q+450)|≤1180。1212342n11.2n2n+132n1242n,B=180。188。R,a+b=1\b=1a\(a+2)+(b+2)252=a+b+4(a+b)12=2(a12)179。所以(a)0，這與231。a+b246。2248。AniBi179。+231。a+(1a)+4+8179。k的n成立可推出P(k+1)成立，1)成立，則P(n)對(duì)所有n成立.(5)、(最小數(shù)原理)自然數(shù)集的非空子集中必有一個(gè)最小數(shù).(6)、若P)且若P(k),P(k+1)成立可推出P(k+2)成立，則P(n)1(,P(2)成立，對(duì)所有n成立.(7)、(無窮遞降法)若P(n)對(duì)某個(gè)n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，則P(n)，還有螺旋歸納法(又叫翹翹板歸納法)：設(shè)有兩個(gè)命題P(n),Q(n)，若P(1)成立，又從P(k)成立可推出Q(k)成立，并且從Q(k)成立可推出P(k+1)成立，其中k為任給自然數(shù)，則P(n),Q(n)對(duì)所有n都成立，若能注意運(yùn)用變形和放縮等技巧，,n有關(guān)，可考慮用二重?cái)?shù)學(xué)歸納法，即若要證命題P(m,n)對(duì)所有m,n成立，可分兩步：①先證P(1,n),P(m,1)對(duì)所有m,n成立；②設(shè)P(m+1,n),P(m,n+1)成立，證明P(m+1,n+1)，數(shù)學(xué)歸納法與其它方法的綜合運(yùn)用，例如，證明n229。188。 證： 設(shè)A=180。,所以,且當(dāng) 163。44a+1+294=2a+13 注意到對(duì)稱有：94(a+b+c+d)+1317(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)163。+nn2...n+1=nn+1（再變形）=2323nn11111n+1+++....+(1+1)+(1+)+....+(1+)23n=2n證：nnn+1+1n12131n第2頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))2+ =1n34n+1++....+23nn234....n+1=nn+1n23n131n所以 n(n+1)n+1+++....+ 求證：1112+11+?+n(n1,n為自然數(shù))2n 分析 與自然數(shù)有關(guān)的問題,=K時(shí)成立,需證n=K+1時(shí)也成立,需證明K+K+1K+1,可采用“湊項(xiàng)”的方法： K+1KK+1+1KK+1K+11===K+1K+1K+1K+1K+111+12=2+12=2+2,右邊=2,所以, 2 證：(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=左邊右邊.(2)假設(shè)n=K時(shí), 1111+11+?+K成立,則當(dāng)n=K+1時(shí), 2K+1111+?++ K+K+12K+1KKK+1+1K+1 =KK+1K+1=K+1=K+1K+1綜上所述： （1）利用特殊值證明不等式11+11+?+n 2n特殊性存在于一般規(guī)律之中,（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì)) 已知ab,b0,a+b=（a+）(b+)≥185。2平方添項(xiàng)運(yùn)用此法必須注意原不等號(hào)的方向例14 ：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1＞ 2n+1 2)證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時(shí)ba＞ b+ma+m∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n1)］2=（465…2n2n1)（465…2n2n1)＞（576…2n+12n)（465…2n2n1)=2n+13＞ 2n+14＞∴(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+1 2)3平均值添項(xiàng)例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤332分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術(shù)平均值添項(xiàng)sin π3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，