【正文】 11：證明不等式：x12x ＜x2（x≠0）證明：設(shè)f（x）=x12xx2（x≠0）∵f(x)=x12x+x2x2x2x1+x2=x12x［1(12x)］+x2=x12xx+x2=f（x）∴f（x）的圖像表示y軸對(duì)稱∵當(dāng)x＞0時(shí)，12x＜0，故f（x）＜0∴當(dāng)x＜0時(shí)，據(jù)圖像的對(duì)稱性知f（x）＜0∴當(dāng)x≠0時(shí)，恒有f（x）＜0 即x12x＜x2（x≠0）練習(xí)9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：bb2ab＜a＜b+b2ab2構(gòu)造圖形法例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）f（b）|＜ |ab|分析：由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(10)2+(x0)2于是如下圖，設(shè)A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2|AB|=|ab|又0A||0B＜|AB|∴|f(a)f(b)|＜|ab|練習(xí)10：設(shè)a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(ac)+c(bc)≤ab10添項(xiàng)法某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項(xiàng)”技巧，能得到快速求解的效果。2ca+c正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。60的為“及格”； 第四篇：不等式的一些證明方法數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))不等式的一些證明方法[摘要]：不等式是數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容,不等式的證明是學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),本文除總結(jié)不等式的常規(guī)證明方法外,給出了不等式相關(guān)的證明方法在具體實(shí)例中的應(yīng)用.[關(guān)鍵詞] 不等式。2x3+x2分析 用相減比較法證明AB[f(x)]（f(x)g(x)，其中f(x),g(x)同號(hào)）,或變形為多個(gè)因子的[f(x)]2+[g(x)]乘積、： Q2x42x3x2+1=2x3(x1)(x1)(x+1)=(x1)(2x3x1)=(x1)(2x32x+x1)13=2(x1)2[(x+)2+]442x42x3x2+1179。+(1+1)+(1+）+188。0)22證：考慮a與b都去特殊值,既當(dāng)a=b=時(shí)有（2+）（2+）=4則a2+1b2+1(a2+1)(b2+1)(ab1)2+111（a+）(b+)=== abababab33(+x2)2+1(+x2)2+125=44=.114x244故原不等式得證.（2）利用分子有理化證明不等式分母有理化是初中數(shù)學(xué)教材中重要知識(shí),它有著廣泛的應(yīng)用,而分子有理化也隱含于各種習(xí)題之中,它不但有各種廣泛的作用,[1] 求證131212+11 \113+12113+12,1211=112+11, 112+11即 1312四種“平均”之間的關(guān)系,既調(diào)和平均數(shù)H(a)≤幾何平均數(shù)G(a)≤第4頁(yè)（共13頁(yè)）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))算數(shù)平均數(shù)A(a)≤平方平均數(shù)Q(a).寫得再詳細(xì)些就是：若a1,a2,a3188。+ann≤a21+a2+188。9第5頁(yè)（共13頁(yè)）1a1b1c數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))分析 證法較多,但由a+b+c=1與++之間的聯(lián)系,：由算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均的關(guān)系可知a+b+c3 179。9.（5）利用式的對(duì)稱性證明不等式形如x+y,a2+b2+c2的式子中任意兩個(gè)量交換位置后結(jié)果仍不變,這就是“式”對(duì)稱, 設(shè)a,b,c,d是正數(shù),且滿足a+b+c+d=1,求證 4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。6 故原命題得證.（6）用“雙十字法”證明不等式 已知x,y0并且x+y=1 求證：x2+3xy+2y22xy32x221xy11y24x+21y+2證：因 x2+3xy+2y22xy3=(x+2y)(x+y)2xy3第6頁(yè)（共13頁(yè)）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))=(x+2y3)(x+y+1)0 類似的，2x221xy11y24x+21y+2=(2x+y2)(x11y1)0 故結(jié)論成立.（7）用恒等變形推導(dǎo)[2] 求證：對(duì)于任意角度q,都有5+8cosq+4cos2q+cos3q≥0證：5+8cosq+4cos2q+cos3q=5+8cosq+4(2cos2q1)+(4cos3q3cosq)=1+5cosq+8cos2q+4cos3q=(1+cosq)(4cos2q+4cosq+1)=(1+cosq)(2cosq+1)2179。2abc,c(a+b)179。165。xi=1,則i=1311127++163。180。R 且a+b+c=1,求證：a2+b2+c2≥.證：a=+α,b=+β,c=+γ, 因?yàn)閍+b+c=1,所以 a+b+g=0于是有a2+b2+c2=+（a+b+g）+（a2+b2+g2）≥.（2）反證法先假設(shè)所要證明的不等式不成立,即要證的不等式的反面成立,然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理,最終推出與已知條件或已知真命題相矛盾的結(jié)論,從而斷定假設(shè)錯(cuò)誤,[5]求證：由小于1的三個(gè)正數(shù)a,b,c所組成的三個(gè)積（1a)b,(1b)c,(1c)a,不能同時(shí)大于證：（反證法）假設(shè)（1a)b,(1b)c,(1c)a都大于則有（1a)b(1b)c(1c)a2***31314141 ① 641a+a246。條件,即有，0(1a)a≤.24232。188。188。188。180。A, 2n352n+12n+12n+1所以A2AB=(180。故 180。（4）判別式法12342n11 2n2n+1適用于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母不等式,而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí),[6]x2+x+113求證:≤2≤.x+122x2+x+1 證： 設(shè)f(x)=y=2,則(1y)x2+x+1y=0,所以x206。、小結(jié)證明不等式的途徑是對(duì)原不等式作代數(shù)變形,在初等數(shù)學(xué)中常用的第11頁(yè)（共13頁(yè)）1a1b1c數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))方法大致有放縮法、代換法、歸納法、,僅在中學(xué)教科書上就有很多方法,但還不足以充分開拓人們的思維,為此,我們要進(jìn)一步探究不等式的證明方法,[1] [J].教學(xué)月刊(中學(xué)版),2007(6).[2] [J].襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2007(4).[3] [J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊,2007(26).[4] 郭煜,張帆不等式證明的常見方法[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007(4).[5] [J].數(shù)學(xué)愛好者(高二版),2007(7).[6] [J].張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2007(1).[7] [J].中國(guó)科技信息,2007(18).[8] 劉玉璉,[M].北京:高等教育出版第12頁(yè)（共13頁(yè)）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)年論文(設(shè)計(jì))社,1988,P201211.[9] [J].承德民族師專學(xué)報(bào),2006(2).[10] [J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1995(2).第13頁(yè)（共13頁(yè)）第五篇：不等式的證明方法幾個(gè)簡(jiǎn)單的證明方法一、比較法：ab等價(jià)于ab0；而ab0等價(jià)于ab，關(guān)鍵是要作適當(dāng)?shù)淖冃危缫蚴椒纸?、拆?xiàng)、加減項(xiàng)、通分等，、綜合法與分析法：綜合法是由因?qū)Ч?，即是由已知條件和已知的不等式出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的不等式；分析法是執(zhí)果索因，即是要逐步找出使結(jié)論成立的充分條件或者充要條件，：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各種不等式；第二，要善于利用題中的隱含條件；第三，、反證法：，從原不等式的結(jié)論的反面出發(fā)，通過合理的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，、放縮法：要證ab，又已知(或易證)ac，則只要證cb，這是利用不等式的傳遞性，將原不等式里的某些項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，： ①添加或舍去一些項(xiàng)，如：a2+1a；n(n+1)n；②將分子或分母放大（或縮小）；③利用基本不等式，如：log3lg5（n(n+1)lg3+lg522)2=lglg=lg4； n+(n+1)；④利用常用結(jié)論：k+1k=1k+1+=1k11k1k12k1k；1k(k+1)1k+11k1k+11k1k(k1)1k；=（程度大）1k1=(k1)(k+1)=2k1（)；（程度?。┪濉Q元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，：已知x2+y2=a2，可設(shè)x=acosq,y=asinq；已知x2+y2163。km)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對(duì)所有不超過m的n都成立.(3)、(反向歸納法)設(shè)有無窮多個(gè)自然數(shù)n(例如n=2m)，使得P(n)成立，且從P(k+1)成立可推出P(k)成立，則P(n)對(duì)所有n成立.(4)、若P(且P(n)對(duì)所有滿足1163。R，且a+b=：(a+2)+(b+2)179。證法二：(分析法)252(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，取等號(hào)).(a+2)2+(B+2)179。b=1a239。(a)179。顯然成立，：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時(shí)，要保證“后一步”是“前一步”：(綜合法)由上分析法逆推獲證(略).證法四：(反證法)假設(shè)(a+2)2+(b+2)2252，則 a2+b2+4(a+b)+8252252.由a+b=1，得b=1a，于是有a2+(1a)2+121246。179。2125179。()2231。證法六：(均值換元法)∵a+b=1，所以可設(shè)a=12+t，b=t，1∴左邊＝(a+2)+(b+2)=(+t+2)2+(t+2)25246。2＝右邊.=231。=2t+179。232。故(a+2)+(b+2)179。An+nA(n1)B，其中n206。A+nAnn(n1)B