【正文】 6換元法換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。例若x、y∈R+,且 xy=1 A=(x1y)(y+1y)。1sec2θ=1cos2θcosθs2mθ例8：已知 x1=y+12=z23，求證：x2+y2+z2≥4314證明：設x1=y+12=z23=k于是x=k+1，y=zk1，z=3k+2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k1)2+(3k+2)2=14(k+514)2+4314≥43147反證法有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關的定義、定理、公理，逐步推導出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結論，從而肯定原有結論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。證明：解設p+q＞2，那么p＞2q∴p3＞（2q）3=812q+6q2q3將p3+q3 =2，代入得 6q212q+6＜0即6（q1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤2練習7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞：a＞0，b＞0，c＞08數(shù)學歸納法與自然數(shù)n有關的不等式，通?？紤]用數(shù)學歸納法來證明。例10：設n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+12分析：觀察求證式與n有關，可采用數(shù)學歸納法證明：（1）當n=2時，左= 43，右=52∵43＞52∴不等式成立（2）假設n=k(k≥2，k∈n)時不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k1)＞2k+12 那么當n=k+1時，(1+13)(1+15)…(1+12k1)(1+12k+1)＞2k+122k+22k+1＞2k+32②對于②〈二〉2k+2＞2k+11構造函數(shù)法例11：證明不等式：x12x ＜x2（x≠0）證明：設f（x）=x12xx2（x≠0）∵f(x)=x12x+x2x2x2x1+x2=x12x［1(12x)］+x2=x12xx+x2=f（x）∴f（x）的圖像表示y軸對稱∵當x＞0時，12x＜0，故f（x）＜0∴當x＜0時，據(jù)圖像的對稱性知f（x）＜0∴當x≠0時，恒有f（x）＜0 即x12x＜x2（x≠0）練習9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：bb2ab＜a＜b+b2ab2構造圖形法例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）f（b）|＜ |ab|分析：由1+x2 的結構可知這是直角坐標平面上兩點A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(10)2+(x0)2于是如下圖，設A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2|AB|=|ab|又0A||0B＜|AB|∴|f(a)f(b)|＜|ab|練習10：設a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(ac)+c(bc)≤ab10添項法某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項”技巧，能得到快速求解的效果。例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當且僅當a=b=c時等號成立）證明：∵a、b、c∈R+∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a2ca+c2平方添項運用此法必須注意原不等號的方向例14 ：對于一切大于1的自然數(shù)n，求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1＞ 2n+1 2)證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時ba＞ b+ma+m∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n1)］2=（465…2n2n1)（465…2n2n1)＞（576…2n+12n)（465…2n2n1)=2n+13＞ 2n+14＞∴(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+1 2)3平均值添項例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤332分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術平均值添項sin π3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當且僅當x=y時等號成立）∵0＜x+y2＜ π，π2＜ xy2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosxy2∴上式成立反復運用這個命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz錯解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz錯因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz 設x+y0，n為偶數(shù)，求證yn1xn+xn1yn≥1x 1y錯證：∵yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnynn為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xnyn和xn1yn1同號，∴yn1xn+xn1yn≥ 1x1y錯因：在x+y0的條件下，n為偶數(shù)時，xnyn和xn1yn1不一定同號，應分x、y同號和異號兩種情況討論。60的為“及格”； 第四篇：不等式的一些證明方法數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)不等式的一些證明方法[摘要]：不等式是數(shù)學中非常重要的內(nèi)容,不等式的證明是學習中的重點和難點,本文除總結不等式的常規(guī)證明方法外,給出了不等式相關的證明方法在具體實例中的應用.[關鍵詞] 不等式。方法； 應用不等式在數(shù)學中占重要地位,由于其本身的完美性及證明的困難性,使不等式成為各類考試中的熱點試題,證明不等式的途徑是對原不等式作代數(shù)變形，在初等數(shù)學中常用的方法有放縮法、代換法、歸納法、,、中學中有關不等式的證明方法 （1）比較法：證明不等式的基本方法,適應面寬.①相減比較法—欲證AB,則證AB0.②相除比較法—欲證AB（A0,B0）,則證1.（2）綜合法：利用平均不等式、二次方程根的判別式、二項式定理、數(shù)列求和等等。2x3+x2分析 用相減比較法證明AB[f(x)]（f(x)g(x)，其中f(x),g(x)同號）,或變形為多個因子的[f(x)]2+[g(x)]乘積、： Q2x42x3x2+1=2x3(x1)(x1)(x+1)=(x1)(2x3x1)=(x1)(2x32x+x1)13=2(x1)2[(x+)2+]442x42x3x2+1179。R時，即 1+2x4179。+(1+1)+(1+）+188。+nn2...n+1=nn+1（再變形）=2323nn11111n+1+++....+(1+1)+(1+)+....+(1+)23n=2n證：nnn+1+1n12131n第2頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)2+ =1n34n+1++....+23nn234....n+1=nn+1n23n131n所以 n(n+1)n+1+++....+ 求證：1112+11+?+n(n1,n為自然數(shù))2n 分析 與自然數(shù)有關的問題,=K時成立,需證n=K+1時也成立,需證明K+K+1K+1,可采用“湊項”的方法： K+1KK+1+1KK+1K+11===K+1K+1K+1K+1K+111+12=2+12=2+2,右邊=2,所以, 2 證：(1)當n=2時,左邊=左邊右邊.(2)假設n=K時, 1111+11+?+K成立,則當n=K+1時, 2K+1111+?++ K+K+12K+1KKK+1+1K+1 =KK+1K+1=K+1=K+1K+1綜上所述： （1）利用特殊值證明不等式11+11+?+n 2n特殊性存在于一般規(guī)律之中,（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計) 已知ab,b0,a+b=（a+）(b+)≥185。0)22證：考慮a與b都去特殊值,既當a=b=時有（2+）（2+）=4則a2+1b2+1(a2+1)(b2+1)(ab1)2+111（a+）(b+)=== abababab33(+x2)2+1(+x2)2+125=44=.114x244故原不等式得證.（2）利用分子有理化證明不等式分母有理化是初中數(shù)學教材中重要知識,它有著廣泛的應用,而分子有理化也隱含于各種習題之中,它不但有各種廣泛的作用,[1] 求證131212+11 \113+12113+12,1211=112+11, 112+11即 1312四種“平均”之間的關系,既調(diào)和平均數(shù)H(a)≤幾何平均數(shù)G(a)≤第4頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)算數(shù)平均數(shù)A(a)≤平方平均數(shù)Q(a).寫得再詳細些就是：若a1,a2,a3188。+1≤na1a2188。+ann≤a21+a2+188。a2+b2+c2ab+bc+ca。9第5頁（共13頁）1a1b1c數(shù)