【正文】 故(a+2)+(b+2)179。證法六：(均值換元法)∵a+b=1，所以可設a=12+t，b=t，1∴左邊＝(a+2)+(b+2)=(+t+2)2+(t+2)25246。2125179。b=1a239。、小結證明不等式的途徑是對原不等式作代數(shù)變形,在初等數(shù)學中常用的第11頁（共13頁）1a1b1c數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)方法大致有放縮法、代換法、歸納法、,僅在中學教科書上就有很多方法,但還不足以充分開拓人們的思維,為此,我們要進一步探究不等式的證明方法,[1] [J].教學月刊(中學版),2007(6).[2] [J].襄樊職業(yè)技術學院學報,2007(4).[3] [J].中國科教創(chuàng)新導刊,2007(26).[4] 郭煜,張帆不等式證明的常見方法[J].高等函授學報(自然科學版),2007(4).[5] [J].數(shù)學愛好者(高二版),2007(7).[6] [J].張家口職業(yè)技術學院學報,2007(1).[7] [J].中國科技信息,2007(18).[8] 劉玉璉,[M].北京:高等教育出版第12頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)社,1988,P201211.[9] [J].承德民族師專學報,2006(2).[10] [J].數(shù)學教學研究,1995(2).第13頁（共13頁）第五篇：不等式的證明方法幾個簡單的證明方法一、比較法：ab等價于ab0；而ab0等價于ab，關鍵是要作適當?shù)淖冃?，如因式分解、拆項、加減項、通分等，、綜合法與分析法：綜合法是由因導果，即是由已知條件和已知的不等式出發(fā)，推導出所要證明的不等式；分析法是執(zhí)果索因，即是要逐步找出使結論成立的充分條件或者充要條件，：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各種不等式；第二，要善于利用題中的隱含條件；第三，、反證法：，從原不等式的結論的反面出發(fā)，通過合理的邏輯推理導出矛盾，、放縮法：要證ab，又已知(或易證)ac，則只要證cb，這是利用不等式的傳遞性，將原不等式里的某些項適當?shù)姆糯蠡蚩s小，： ①添加或舍去一些項，如：a2+1a；n(n+1)n；②將分子或分母放大（或縮?。?；③利用基本不等式，如：log3lg5（n(n+1)lg3+lg522)2=lglg=lg4； n+(n+1)；④利用常用結論：k+1k=1k+1+=1k11k1k12k1k；1k(k+1)1k+11k1k+11k1k(k1)1k；=（程度大）1k1=(k1)(k+1)=2k1（)；（程度?。┪濉Q元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，：已知x2+y2=a2，可設x=acosq,y=asinq；已知x2+y2163。180。條件,即有，0(1a)a≤.24232。165。9第5頁（共13頁）1a1b1c數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設計)分析 證法較多,但由a+b+c=1與++之間的聯(lián)系,：由算術平均數(shù)和調和平均的關系可知a+b+c3 179。2x3+x2分析 用相減比較法證明AB[f(x)]（f(x)g(x)，其中f(x),g(x)同號）,或變形為多個因子的[f(x)]2+[g(x)]乘積、： Q2x42x3x2+1=2x3(x1)(x1)(x+1)=(x1)(2x3x1)=(x1)(2x32x+x1)13=2(x1)2[(x+)2+]442x42x3x2+1179。1構造函數(shù)法例11：證明不等式：x12x ＜x2（x≠0）證明：設f（x）=x12xx2（x≠0）∵f(x)=x12x+x2x2x2x1+x2=x12x［1(12x)］+x2=x12xx+x2=f（x）∴f（x）的圖像表示y軸對稱∵當x＞0時，12x＜0，故f（x）＜0∴當x＜0時，據(jù)圖像的對稱性知f（x）＜0∴當x≠0時，恒有f（x）＜0 即x12x＜x2（x≠0）練習9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：bb2ab＜a＜b+b2ab2構造圖形法例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）f（b）|＜ |ab|分析：由1+x2 的結構可知這是直角坐標平面上兩點A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(10)2+(x0)2于是如下圖，設A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2|AB|=|ab|又0A||0B＜|AB|∴|f(a)f(b)|＜|ab|練習10：設a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(ac)+c(bc)≤ab10添項法某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項”技巧，能得到快速求解的效果。證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2練習5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜16換元法換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。230。232。231。x+246。2231。=x從而x41x8=xx(1x)=8同理yy4z3z41y179。.(1x8)意到8x(1x)=8x(1x8)(1x81444424)L4(144x3)8個233。u+w+246。11246。90o,PA=易知OP=以sinq＝PAOP,163。232。248。y4x246。證：令A＝1a,B=b,C1=c,則A，B，C206。bz247。1231。231。0.\(ab+cd)(ac+bd)179。證：因為a2+b22kab=1,所以(akb)2+2=1L(1)同樣的，2+(kxy)2=1L(2)運用柯本不等式式解：（1）左*（2）左179。247。163。2a+b247。111249。6231。1230。故原命題得證。w163。cos2Bv3230。u3+v3w3+v3u3+v3246。=230。n的和形式,則配上對應項為nm177。in248。232。2x2+z2+xz=230。構造復數(shù)：z1=231。解z1+z2+z2179。s2m2θ+cos2θcosθ2ac)=3abc當且僅當a=b，b=c，c=a即a=b=c時，等號成立。+（1+)23n=2n nn34n+12+++188。6證：由4a+19163。 2221+x11+x21+x310 證：因為12111911x=時有163。180。180。n163。0239。235。t+247。N+.證明：由二項式定理可知n(A+B)=229。22232。a+b179。a247。0=a+(1a)+4=2a2a+即(a+2)2+(b+2)2179。180。180。21=2[4]設a,b,c206。2abc2222b(c+a)179。an≤a1+a2+188。正解：應用比較法：yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnyn① 當x0,y0時，(xnyn)(xn1yn1)≥ 0，(xy)n 0所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn≥0故：yn1xn+xn1yn≥ 1x1y② 當x,y有一個是負值時，不妨設x0,y0，所以x|y|又n為偶數(shù)時,所以(xnyn)(xn1yn1)0 又(xy)n 0，所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn ≥0即 yn1xn+xn1yn≥ 1x1y綜合①②知原不等式成立第三篇：不等式證明若干方法安康學院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學與應用數(shù)學 專業(yè) 11 級本科生論文（設計）選題實習報告11級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)《科研訓練2》評分表注：綜合評分179。用數(shù)學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。∵（a3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（a