【正文】 意的正數(shù)a、b，恒有l(wèi)nalnb179。(x)f(x)恒成立，常數(shù)a、b滿足ab，求證：af(a)bf(b)．五、主元法構造函數(shù)1+x)x，g(x)=xlnx． 【例5】已知函數(shù)f(x)=ln(（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設0ab，證明：0g(a)+g(b)2g（a+b)(ba)ln2．2六、構造二階導函數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性（二次求導）【例6】已知函數(shù)f(x)=aex12x． 2（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若a=1，求證：當x0時，f(x)1+x．七、對數(shù)法構造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）【例7】證明：當x0時，(1+x)1+xe1+2．（2007年，安徽卷）設a179。x． x+1二、作差法構造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù)f(x)=的圖象的下方．2312x+lnx，求證：在區(qū)間(1 ,+165。=2(a+c)(a+b+c)第四篇：構造法證明函數(shù)不等式構造法證明函數(shù)不等式利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點．解題技巧是構造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結構特征構造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵．一、移項法構造函數(shù)【例1】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當x1時，恒有11163。(a+b+c).四、構造幾何體證明不等式若要證明的不等式與幾何體中一些線段的長度有某種內(nèi)在的關系， 已知a,b,c均為正數(shù)，且a2+b2+c2=：a2+b2+c23(a+b+c)證明：由a2+b2+c2=1，可發(fā)現(xiàn)此式與長方體的對角線長的公式有一定聯(lián)，使其長寬高分別為a,b,c，且AC1=c 1A1 D1而AB1=b2+c2=，有AB1+B1C1AC1，即a2+a1①同理有b2+b1②c2+c1③由①②③得a2+b2+c23(a+b+c).“構造”，可以根據(jù)所要證明的不等式的結構特征，合理運用類比、聯(lián)想等方法，構造出“輔助元素”，使所要證明的不等式化難為易，從而解決問題。(a+b)①.23(c+b)② 2(c+a)③ 2c2+ca+a2179。所以0siqn3(a+b)，即2a2+ab+b2179。ACB=1200，則AB=a2+ab+=q，則ADbBDaa=，.==sin600sinqsin600sin(1800q)sinq33ba(a+b)所以AB=，BD=.由此可得AB=AD+DB=.sinqsinqsinq∵0qp163。、構造三角形證明不等式若能根據(jù)不等式的特征，構造出與不等式相同的幾何背景的三角形，,b,c為正實數(shù)，求證：a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ca+a2179。0，所以1163。(a1)]24(a28a+7)179。(a1)x2177。故可構造關于x的方程：238。a163。2 2238。++xy xyxy綜上，所證明的原不等式成立.（Ⅱ）、構造方程證明不等式由解不等式的經(jīng)驗知，不等式的解的區(qū)間的端點就是相應方程的解，所以可以利用方程與不等式的內(nèi)在聯(lián)系， 設實數(shù)a,b,c滿足236。)上單調(diào)遞增，所以f(x)179。y+x+(xy)(x)=y+x+(xy)2[xy(x+y)+1]=(y2y)x2+(1y2)x+y1 當y=1時，則f(x)=0，即xy(x+y)+1=y+x+(xy)2，所以111x+y+=++xy xyxy111206。1，y179。c，證明logab+logbc+logca163。a163。1，證明 111x+y+163。不等式證明是高中數(shù)學的一個難點問題，若能巧用構造方法，、構造函數(shù)證明不等式若能根據(jù)題中條件的特征，巧妙地構造函數(shù)，（2011年安徽高考理科題）（Ⅰ）設x179。因而可構造函數(shù) f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)若b + c = 0原不等式顯然成立。22 222n－1例8：設任意實數(shù)a、b均滿足| a | 1，| b | 1，求證：112+179。當a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝1 a1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數(shù)n均成立六、構造數(shù)列證明不等式例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn n2n n12圖（2）12n證明：不等式左邊為 2－1=從而聯(lián)想到等比數(shù)列的求和公式，12n111n1n1n2n12=n于是左邊=1+2+2+…+ 2 =[(1+2)+(2+2)+ …(2+1)≥49x22x163。m163。22238。由 236。m163。x2y2+=12于是令 y=49x(y179。49x22x163。222ab+bc=ac 故當且僅當，即111=+時取等號。+bcsin60176。 如圖（1），則∠AOC＝120176。a2+ac+c2，當且僅當111=+時取等號。22+222注：此題也可構造向量來證明。 6x2+(1y)2+(1x)2+y2+1x)2+(1y)2179。1）=1 所以(1y)2+(x+y3)2+(2x+y6)2179。1＋(x+y3)|b|=(1y)2+(x+y3)2+(2x+y6)26ab 為常數(shù)，根據(jù)待定系數(shù)法又可構造b=(1,2,1)。|a| 6證明：不等式左邊的特點，使我們?nèi)菀茁?lián)想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成a=(1y,x