構(gòu)造法證明不等式例析-文庫(kù)吧資料
2025-06-30 16:44本頁(yè)面
【正文】 其上方，∴≥0，即4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．二、構(gòu)造二次函數(shù)法證明不等式對(duì)一些不等式證明的題目，若能巧妙構(gòu)造一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的有關(guān)特性，可以簡(jiǎn)潔地完成不等式證明． 例2 實(shí)數(shù)a、b、c滿足( a＋c)( a＋b＋c)＜0，求證：( b－c )＞4a( a＋b＋c)．證明：由已知得a = 0時(shí)，b≠c，否則與( a＋c)( a＋b＋c)＜0矛盾，故a = 0時(shí)，( b－c )＞4a( a＋b＋c)成立．當(dāng)a≠0時(shí)，構(gòu)造二次函數(shù)= ax＋( b－c )x＋( a＋b＋c)，則有= a＋b＋c，= 2(a＋c)，而= 2( a＋c)( a＋b＋c)＜0，∴存在m，當(dāng)－1＜m＜0時(shí)，= 0，即二次函數(shù)的圖象與x軸相交，∴方程ax＋( b－c )x＋( a＋b＋c) = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=( b－c )－4a( a＋b＋c)＞0，即( b－c )＞4a( a＋b＋c)． 三、構(gòu)造單調(diào)函數(shù)法證明不等式構(gòu)造單調(diào)函數(shù)法證明不等式的思路是，首先要根據(jù)題意構(gòu)造單調(diào)函數(shù)式，再利用單調(diào)性的定義，完成要證的不等式． 例3 已知 a＞0，b＞0，求證 ：＋＞ ．證明： 構(gòu)造函數(shù)= ，易證== 1－當(dāng)x＞0 時(shí)單調(diào)遞增．∵ a＋b＋ab＞a＋b＞0 ，∴ (a＋b＋ab)＞( a＋b) ．故 ＋=＞=(a＋b＋ab)＞( a＋b) =
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