構造函數(shù)證明數(shù)列不等式-文庫吧資料
2024-10-31 14:50本頁面
【正文】 用函數(shù)的奇偶性xx證明不等式：xxx2xx ∵f（x）== x+ x122212xxx[1(12)]+ 12x2xx =x+= f(x)x122 = ∴f(x)的圖象關于y軸對稱x ∵當x0時，12第四篇：構造函數(shù)證明不等式在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法。22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222（lgx+lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1+222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy 而 lgx0,lgy0, ∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy ∴ 1從而要使原不等式對于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數(shù)，視參數(shù)為變元的函數(shù)，然后根據(jù)變元函數(shù)的值域來求解a，從而說明常數(shù)a的存在性。另證：類比萬能公式中的正弦公式構造三角函數(shù)更簡單。聯(lián)想到函數(shù)的值域，于是構造函數(shù)f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域為[—，]即可。[證明]令 f（x）=x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1+x 而 0得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）即： a+b1+a+b≤a+b1+a+b[說明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來證明，則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關系；反過來，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調性。a+x+，其中x∈R，0b+xb+x證明：令 f（x）= ∵ba0 ba+ 在R上為減函數(shù) b+xba+從而f（x）= 在R上為增函數(shù)b+x∴y= ∵m0 ∴f（m） f（0）∴a+ma b+mb例求證：a+b1+a+b≤a+b1+a+b（a、b∈R）[分析]本題若直接運用比較法或放縮法，很難尋其線索。0（當且僅當a=,b=,c=時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0abc111149∴當a=,b=,c=時，(++)min=36 632abc構造函數(shù)證明不等式利用函數(shù)的單調性+例巳知a、b、c∈R，且a b+mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。R+且a+b+c=1，求解析：構造函數(shù)f(x)=(＝(1axa)2+(149++的最小值。0.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。解析：構造函數(shù)：f(x)=(4a+1x1)2+(4b+1x1)2+(4c+1x1)2+(4d+1x1)2＝8x22(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)x+4.(Qa+b+c+d=1)由f(x)179。,b,c,d206。3② 構造函數(shù)逆用判別式證明不等式對某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結論，結合判別式的結構特征，通過構造二項平方和函數(shù)：f(x)=(a1xb1)2+(a2xb2)2+K+(anxbn)2由f(x)179。30,同理可求得a,c206。233。0，即：0163。2 消去c得：此方程恒成立，a+(b2)a+b2b+1=0，22238。236。235。234。：a,b,c206。0恒成立。解析：令f(a)=a2+(3b+c)a+c2+3b2+3bc⊿＝(3b+c)24(c2+3b2+3bc)=3(b+c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)179。：a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。f(a+b)f(b).第三篇：構造函數(shù)證明不等式在含有兩個或兩個以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個字母的二次式，這時可考慮用判別式法。f(k)=a,kx=b,則k=a+b.\f(a)+f(b)179。g().22而g()=f()+f(kkkk2)=klnk2=k(lnkln2)=f(k)kln2,\g(x)179。xkx,k2x0222。(x)=lnx+1ln(kx)1=ln令g162。N).*例16.(2008年福州市質檢)已知函數(shù)f(x)=0,b0,證明:f(a)+(a+b)ln2179。2n+2248。247。nln4230。n+1n+2248。247。230。N).*(方法二)ln(n+1)(n+1)ln(n+1)(n+1)(n+2)179。248。248。247。247。n230。230。248。247。2248。2180。247。ln231。230。22+32+L+(n+1)2232。111231。234(n+1)232。1111231。248。247。232。231。231。230。248。22247。231。11112222246。f(x2)f(x1+x2+L+xn)……222。f(x2)x2x1+x2f(x1+x2)兩式相加后可以得到f(x1)+f(x2)f(x1+x2)(3)f(x1)x1f(x1+x2+L+xn)x1+x2+L+xn222。)上是增函數(shù),所以f(x1)x1f(x1+x2)x1+x222
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