巧用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式-文庫(kù)吧資料
2024-10-26 14:47本頁(yè)面
【正文】 x)=g(x)f(x)，即F(x)=22312xxlnx，321(x1)(2x2+x+1)(x1)(2x2+x+1)則F39。(1 , +165。)上恒成12212x+lnxx3，只需證明在區(qū)間(1,+165。f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過(guò)0就可得證．例2．【分析】函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方219。g(0)=0，即ln(x+1)+【點(diǎn)評(píng)】如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大（小）值，則有f(x)163。x． ∴l(xiāng)n(x+1)179。0，x+1111163。)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(1 , +165。(1 , 0)上為減函數(shù)，在x206。)時(shí)，g39。(x)0；當(dāng)x206。(x)=22，x+1(x+1)(x+1)x+1當(dāng)x206。0，∴l(xiāng)n(x+1)163。)上的最大值為f(x)max=f(0)=0，因此，當(dāng)x1時(shí)，f(x)163。)上為減函數(shù)；故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1 , 0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0 , +165。(x)0，即f(x)在x206。(x)0，即f(x)在x+1x+1g(x)=ln(x+1)+x206。f(a)例1【分析】 本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)11，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明． x+11x1=【解析】由題意得：f162。af(b)C．a(chǎn)f(a)163。0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若ab，則必有（）A．a(chǎn)f(b)163。)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足xf39。g(x)．2已知函數(shù)f(x)=ln(1+x) xb，求證：對(duì)任意的正數(shù)a、b，恒有l(wèi)nalnb179。(x)f(x)恒成立，常數(shù)a、b滿(mǎn)足ab，求證：af(a)bf(b)．五、主元法構(gòu)造函數(shù)1+x)x，g(x)=xlnx． 【例5】已知函數(shù)f(x)=ln(（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0ab，證明：0g(a)+g(b)2g（a+b)(ba)ln2．2六、構(gòu)造二階導(dǎo)函數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性（二次求導(dǎo)）【例6】已知函數(shù)f(x)=aex12x． 2（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若a=1，求證：當(dāng)x0時(shí)，f(x)1+x．七、對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）【例7】證明：當(dāng)x0時(shí)，(1+x)1+xe1+2．（2007年，安徽卷）設(shè)a179。x． x+1二、作差法構(gòu)造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù)f(x)=的圖象的下方．2312x+lnx，求證：在區(qū)間(1 ,+165。第三篇：構(gòu)造法證明函數(shù)不等式構(gòu)造法證明函數(shù)不等式利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)．解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵．一、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)【例1】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當(dāng)x1時(shí)，恒有11163。由①②③得a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ca+a2179。同理：b2+bc+c2179。1，所以AB179。(a+b+c)證明：由于a2+ab+b2=+b22abcos1200，構(gòu)造三角形ABC，如 q D B使AC=b,BC=a,208。a163。0，即a210a+9163。(a1)x+a28a+7=0所以D=[177。b+c=177。=a28a+7證明：由已知得237。b+c+bc6a+6=0求證：1163。a2bc8a+7=0237。f(1)=y2y+1y2+y1=0所以111x+y+163。(,1).函數(shù)當(dāng)y1時(shí)，二次函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸x=+22y2f(x)在[1,+165。1，所以要證明原不等式成立，則只需證xy(x+y)+1163。logba+logcb+：∵x179。b163。++xy，xyxy（Ⅱ）1163。1,y179。第二篇：巧用構(gòu)造法證明不等式巧用構(gòu)造法證明不等式構(gòu)造法是指在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，為了完成由條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化，通過(guò)構(gòu)造輔助元素，架起一座溝通條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得到解決。故兩個(gè)不等式至少有一個(gè)成立。a+a2+2b22b1，aa2+2b22b1證明：設(shè)f(x)=bx2axb2(b≠0)∵△=(a)22b(b)=a2+2b2＞0∴拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為x=a177。238。1c＞c239。D=(1c)24(c2c)＞0239。⒉利用一元二次方程根的分布證明不等式【例7】設(shè)a + b + c=1，a2 + b2 + c2 =1，且a＞b＞c，求證：13＜c＜0證明：∵a + b + c=1∴a + b =1c有a2 + b2 + 2ab=1c∴a，b是方程x2(1c)x+c2c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∵a＞b＞c，故方程有大于c的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根構(gòu)造函數(shù)f(x)= x2(1c)x+c2c，則有：236。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x2+ 2(a + b)x + a2 + b2=(x + a)2 +(x + b)2 ≥0∵2＞0∴△=[2(a+b)]242(a2 + b2)≤0∴△=4(5c)28(9c2)≤0 ∴(c1)(3c7)≤0∴1≤c≤213同理可證：1≤a≤21，1≤b≤2133。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax2 +(b + c)x +(a + b + c)(a≠0)則f(0)=a + b + c，f(1)=2(a + c)由(a + c)(a + b + c)＜0知：f(0)?f(1)＜0 ∴f(x)=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)x＞0時(shí)，12x＜0，f(x)＜0；當(dāng)x＜0時(shí)，x＞0,故f(x)=f(x)＜0 ∴x12xx2＜0，即x12x＜x2三、構(gòu)造一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性證明不等式【例3】已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求證：a + b + c＜abc + 2。二、利用分式函數(shù)的奇偶性證明不等式【
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