巧用數(shù)學歸納法證明不等式-文庫吧資料
2024-11-06 00:31本頁面
【正文】 明：（1）Qa,b,c206。a+b+c當且僅當a=b=c時取等號+++bbc+cbaab+bb+cca+acbbc+cc179。題1已知a,b,c206。利用二元均值不等式求函數(shù)的最值和求參數(shù)的范圍問題一直是高考的重點和熱點，同時二元均值不等式也是證明不等式的利器。構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，關(guān)鍵在于找到能夠反映所要證不等式特征的合適的函數(shù)，從而就可以利用該函數(shù)的性質(zhì)去證明不等式。a2+2b22b∴f(1)=b2+af(0)= b2f(1)= b2a⑴當b＞0時，f(0)＜0若a＞0,則f(1)＞0∴點A（1，f(1)）在x軸上方，點B（0，f(0)）在x軸下方∴拋物線與x軸在（1，0）內(nèi)必有一個交點，此時有aa2+2b22b1 若a＜0，則f(1)＞0 ∴點C(1，f(1))在x軸上方 ∴拋物線與x軸在（0，1）內(nèi)必有一個交點，此時有 a+a2+2b22b1 ⑵當b＜0時，f(0)＞0，此時點B在x軸下方，同理可證A點和C點至少有一點 在x軸上方。f(c)＞0∴13＜c＜0⒊綜合運用判別式法、一元二次方程根的分布證明不等式【例8】設(shè)a，b是兩個不等于0的實數(shù)，求證：下列不等式中至少有一個成立。2239。237。239?！纠?】已知a，b，c∈R，證明：a2 + ac + c2 + 3b(a + b + c)≥0，并指出等號何時成立？證明：令f(a)= a2 +(c + 3b)a + c2 + 3b2+ 3bc△=(c + 3b)24(c2 + 3b2 + 3bc)=3(b + c)2≤0 恒成立 ∵二次項系數(shù)1＞0∴f(a)≥0，即 a2 + ac + c2 + 3b(a + b + c)≥0又當△=0，即b + c = 0時f(a)=(a + b)2= 0 ∴當且僅當a=b=c時才能取等號。∴△＞0，即(bc)2＞4a(a + b + c)【例5】已知實數(shù)a，b，c滿足a + b + c = 5，a2 + b2 + c2= 9，求證a，b，c的值都不小于1，又都 不大于213。證明：構(gòu)造函數(shù)f(c)=(1ab)c + a + b2∵|a|＜1，|b|＜1∴1＜ab＜1，1ab＞0∴f(c)的（1，1）上是增函數(shù)∵f(1)=1ab + a + b2=a + b–ab1=a(1b)=(1c)2＞4a(a + b + c)。0)∵f(x)=xxx2x12x+2=2x1+x2=x12x[1(12x)]+x2=x12xx2=f(x)∴f(x)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱。)上單調(diào)遞增∵f(|a| + |b|)=|a|+|b|1+|a|+|b|f(|a + b|)=|a+b|1+|a+b|且|a| + |b|≥|a + b|∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|)即所證不等式正確。(a+b+c).四、構(gòu)造幾何體證明不等式若要證明的不等式與幾何體中一些線段的長度有某種內(nèi)在的關(guān)系， 已知a,b,c均為正數(shù)，且a2+b2+c2=：a2+b2+c23(a+b+c)證明：由a2+b2+c2=1，可發(fā)現(xiàn)此式與長方體的對角線長的公式有一定聯(lián)，使其長寬高分別為a,b,c，且AC1=c 1A1 D1而AB1=b2+c2=，有AB1+B1C1AC1，即a2+a1①同理有b2+b1②c2+c1③由①②③得a2+b2+c23(a+b+c).“構(gòu)造”，可以根據(jù)所要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，合理運用類比、聯(lián)想等方法，構(gòu)造出“輔助元素”，使所要證明的不等式化難為易，從而解決問題。(a+b)①.23(c+b)② 2(c+a)③ 2c2+ca+a2179。所以0siqn3(a+b)，即2a2+ab+b2179。ACB=1200，則AB=a2+ab+=q，則ADbBDaa=，.==sin600sinqsin600sin(1800q)sinq33ba(a+b)所以AB=，BD=.由此可得AB=AD+DB=.sinqsinqsinq∵0qp163。、構(gòu)造三角形證明不等式若能根據(jù)不等式的特征，構(gòu)造出與不等式相同的幾何背景的三角形，,b,c為正實數(shù)，求證：a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ca+a2179。0，所以1163。(a1)]24(a2
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1