數(shù)學(xué)歸納法證明不等式知識歸納課件人教a選修-文庫吧資料
2025-01-21 08:47本頁面
【正文】 bbk??2112bbk??11bkbkk??1111bbk??2112bbk?? 1 1bkbkk??從而 11ba22ba… … kbkaa 11b kk??≤ (a1b1＋ a2b2＋ … ＋ akbk1 － bk ＋ 1)1 － bk ＋ 1a 11b kk??. 又因 (1 － bk ＋ 1) ＋ bk ＋ 1＝ 1 ， 由 ② 得 (a1b1＋ a2b2＋ … ＋ akbk1 － bk ＋ 1)1 － bk ＋ 1a 11b kk??≤a1b1＋ a2b2＋ … ＋ akbk1 － bk ＋ 1b11 － bk ＋ 1＋ a2a1a2＋ (1 － b1) ， 即11ba 湖北高考 ) ( 1) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ rx － xr＋ (1 － r )( x ＞ 0) ，其中 r 為有理數(shù)，且 0 ＜ r ＜ 1. 求 f ( x ) 的最小值； ( 2) 試用 ( 1) 的結(jié)果證明如下命題： 設(shè) a1≥ 0 ， a2≥ 0 ， b1， b2為正有理數(shù)．若 b1＋ b2＝ 1 ，則 a1b 1考情分析 通過分析近三年的高考試題可以看出，不但考查用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)成的結(jié)論，還考查用數(shù)學(xué)歸納法證明新發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的正確性．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用主要出現(xiàn)在數(shù)列解答題中，一般是先根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，通過觀察項與項數(shù)的關(guān)系，猜想出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，初步形成 “觀察 —歸納 —猜想 —證明 ”的思維模式；利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，要注意放縮法的應(yīng)用，放縮的方向應(yīng)朝著結(jié)論的方向進(jìn)行，可通過變化分子或分母，通過裂項相消等方法達(dá)到證明的目的． 真題體驗 1 ． ( 2022 安徽高考 ) 數(shù)列 { x n } 滿足 x 1 ＝ 0 ， x n ＋ 1 ＝－ x2n ＋ x n ＋ c ( n ∈ N*) ． ( 1) 證明： { x n } 是遞減數(shù)列的充分必要條件是 c ＜ 0 ； ( 2) 求 c 的取值范圍，使 { x n } 是遞增數(shù)列． 解： ( 1) 先證充分性，若 c ＜ 0 ，由于 x n ＋ 1 ＝－ x2n ＋ x n ＋ c ≤ x n＋ c ＜ x n ，故 { x n } 是遞減數(shù)列； 再證必要性，若 { x n } 是遞減數(shù)列，則由 x 2 ＜ x 1 ，可得 c＜ 0. ( 2) ( i) 假設(shè) { xn} 是遞增數(shù)列．由 x1＝ 0 ，得 x2＝ c ， x3＝－c2＋ 2 c . 由 x1＜ x2＜ x3，得 0 ＜ c ＜ 1. 由 xn＜ xn ＋ 1＝－ x2n＋ xn＋ c 知， 對任意 n ≥ 1 都有 xn＜ c ， ①
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