數(shù)學歸納法證明不等式知識歸納課件人教a選修(已修改)
2025-01-27 08:47 本頁面
【正文】 考情分析 通過分析近三年的高考試題可以看出，不但考查用數(shù)學歸納法去證明現(xiàn)成的結論，還考查用數(shù)學歸納法證明新發(fā)現(xiàn)的結論的正確性．數(shù)學歸納法的應用主要出現(xiàn)在數(shù)列解答題中，一般是先根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，通過觀察項與項數(shù)的關系，猜想出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學歸納法進行證明，初步形成 “觀察 —歸納 —猜想 —證明 ”的思維模式；利用數(shù)學歸納法證明不等式時，要注意放縮法的應用，放縮的方向應朝著結論的方向進行，可通過變化分子或分母，通過裂項相消等方法達到證明的目的． 真題體驗 1 ． ( 2022 安徽高考 ) 數(shù)列 { x n } 滿足 x 1 ＝ 0 ， x n ＋ 1 ＝－ x2n ＋ x n ＋ c ( n ∈ N*) ． ( 1) 證明： { x n } 是遞減數(shù)列的充分必要條件是 c ＜ 0 ； ( 2) 求 c 的取值范圍，使 { x n } 是遞增數(shù)列． 解： ( 1) 先證充分性，若 c ＜ 0 ，由于 x n ＋ 1 ＝－ x2n ＋ x n ＋ c ≤ x n＋ c ＜ x n ，故 { x n } 是遞減數(shù)列； 再證必要性，若 { x n } 是遞減數(shù)列，則由 x 2 ＜ x 1 ，可得 c＜ 0. ( 2) ( i) 假設 { xn} 是遞增數(shù)列．由 x1＝ 0 ，得 x2＝ c ， x3＝－c2＋ 2 c . 由 x1＜ x2＜ x3，得 0 ＜ c ＜ 1. 由 xn＜ xn ＋ 1＝－ x2n＋ xn＋ c 知， 對任意 n ≥ 1 都有 xn＜ c ， ① 注意到 c － xn ＋ 1＝ x2n－ xn－ c ＋ c ＝ (1 － c － xn)( c － xn) ， ② 由 ① 式和 ② 式可得 1 － c － xn＞ 0 ，即 xn＜ 1 － c . 由 ② 式和 xn≥ 0 還可得，對任意 n ≥ 1 都有 c － xn ＋ 1≤ (1 － c )( c － xn) ． ③ 反復運用 ③ 式，得 c － xn≤ (1 － c )n － 1( c － x1) ＜ (1 － c )n － 1. xn＜ 1 － c 和 c － xn＜ (1 － c )n － 1兩式相加， 知 2 c － 1 ＜ (1 － c )n － 1對任意 n ≥ 1 成立． 根據(jù)指數(shù)函數(shù) y ＝ (1 － c )n的性質(zhì)，得 2 c － 1 ≤ 0 ， c ≤14，故 0 ＜ c ≤14. (ii) 若 0 ＜ c ≤14，要證數(shù)列 { xn} 為遞增數(shù)列， 即 xn ＋ 1－ xn＝－ x2n＋ c ＞ 0. 即證 xn＜ c 對任意 n ≥ 1 成立． 下面用數(shù)學歸納法證明當 0 ＜ c ≤14時， xn＜ c 對任意 n ≥ 1 成立． (1) 當 n ＝ 1 時， x1＝ 0 ＜ c ≤12，結論成立． (2) 假設當 n ＝ k ( k ∈ N*) 時結論成立，即： xk＜ c . 因為函數(shù) f ( x )＝－ x2＋ x ＋ c 在區(qū)間 ( － ∞ ，
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