數學歸納法證明不等式知識歸納課件人教a選修-資料下載頁
2025-01-15 08:47本頁面
【正文】 n2α＝t an α 2t an α1 － t an2α ＝ t an α t an 2 α ， 等式成立． (2) 假設當 n ＝ k 時等式成立，即 tan α tan 2 α ＋ tan 2 α ta n 3 α ＋ … ＋ tan( k － 1) α tan kα ＝ tan kαtan α－ k . 當 n ＝ k ＋ 1 時， tan α tan 2 α ＋ tan 2 α tan 3 α ＋ … ＋ tan( k － 1) α tan kα ＋ tan kα tan( k ＋ 1) α ＝tan kαtan α－ k ＋ tan kα tan( k ＋ 1) α ＝tan kα [1 ＋ tan α tan ? k ＋ 1 ? α ]tan α－ k ＝1t an α[t an ? k ＋ 1 ? α － t an α1 ＋ t an ? k ＋ 1 ? α t an α] [1 ＋ t a n ( k ＋ 1) α t a n α ] － k ＝1t an α[ t a n ( k ＋ 1) α － t a n α ] － k ＝t an ? k ＋ 1 ? αt an α－ ( k ＋ 1) ， 所以當 n ＝ k ＋ 1 時，等式也成立． 由 ( 1) 和 ( 2) 知， n ≥ 2 ， n ∈ N ＋ 時等式恒成立． [例 3] 用數學歸納法證明： n(n＋ 1)(2n＋ 1)能被 6整除． [證明 ](1)當 n＝ 1時， 1 2 3顯然能被 6整除． (2)假設 n＝ k時，命題成立， 即 k(k＋ 1)(2k＋ 1)＝ 2k3＋ 3k2＋ k能被 6整除． 當 n＝ k＋ 1時， (k＋ 1)(k＋ 2)(2k＋ 3)＝ 2k3＋ 3k2＋ k＋ 6(k2＋ 2k＋ 1) 因為 2k3＋ 3k2＋ k,6(k2＋ 2k＋ 1)都能被 6整除，所以 2k3 ＋ 3k2＋ k＋ 6(k2＋ 2k＋ 1)能被 6整除，即當 n＝ k＋ 1時命題 成立． 由 (1)、 (2)知，對任意 n∈ N＋ 原命題成立． [ 例 4] 設 0 a 1 ，定義 a 1 ＝ 1 ＋ a ， a n ＋ 1 ＝1a n＋ a ，求證：對一切正整數 n ∈ N ＋ ，有 1 a n 11 － a. [ 證明 ] ( 1) 當 n ＝ 1 時， a11 ，又 a1＝ 1 ＋ a 11 － a，命題成立． ( 2) 假設 n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 時，命題成立， 即 1 ak11 － a. ∴ 當 n ＝ k ＋ 1 時，由遞推公式，知 ak ＋ 1＝1ak＋ a ( 1 － a ) ＋ a ＝ 1. 同時， ak ＋ 1＝1ak＋ a 1 ＋ a ＝1 － a21 － a11 － a， ∴ 當 n ＝ k ＋ 1 時，命題也成立，即 1 ak ＋ 111 － a. 綜合 (1) 、 (2) 可知，對一切正整數 n ，有 1 an11 － a. 點擊下圖進入階段質量檢測
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