數(shù)列與不等式證明方法歸納(解析版)-資料下載頁
2025-06-18 05:08本頁面
【正文】 學歸納法結(jié)論[典例]設數(shù)列滿足，證明對：（Ⅰ）；（Ⅱ）。[解析]（Ⅰ）數(shù)學歸納法：①令，命題成立；②假設時，命題成立，即；令，成立；由①②得，；（Ⅱ）由（Ⅰ）中數(shù)學歸納法中間步驟得，即；所以五、其它方法（1）構造新數(shù)列[典例]設數(shù)列滿足，為的前項和。證明：對，（Ⅰ）當時，；（Ⅱ）當時，；（Ⅲ）當時。[解析]（Ⅰ）由于（*）；又由于，即，即與同號，且，所以（**）；結(jié)合（*）、（**），得時，有；（Ⅱ）因為，且，所以，即是單調(diào)遞增數(shù)列；由（Ⅰ）得；所以；（Ⅲ）由（Ⅰ）得，所以，所以，即不等式右端成立；令，由（Ⅰ）（Ⅱ）得；由，可得；從而；又，故，即；注意到；故；即，即，即不等式左端成立；綜上，當時，有。（2） 看到“指數(shù)的指數(shù)”取對數(shù)[典例]已知數(shù)列滿足：。證明：。[解析]先證；因為；兩邊取以2為底的對數(shù)，得，即；累乘得，所以，即不等式左端成立；再證；因為，所以；所以，即；兩邊取以3為底的對數(shù)，得，即；累乘得，所以，即不等式右端成立；綜上。（3）將遞推等式化為遞推不等式[典例1]已知數(shù)列滿足：。（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若，求正整數(shù)的最小值。[解析]（Ⅰ）由于，且，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，即；累加得，所以，即，即；（Ⅲ）取最小值時，有，；所以，即；所以，即；累加得，所以，即，即；由（Ⅱ）得，所以當時，有，所以最小值為2018。[典例2]已知數(shù)列滿足：。證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）。[解析]（Ⅰ）因為，所以；所以；（Ⅱ）先證；因為，所以；累加得；所以即，不等式右端成立；再證；因為，所以；所以，所以；累加得即，即，所以，即不等式左端成立；綜上。（4）符號不同分項放縮[典例]已知數(shù)列中的相鄰兩項是關于的方程的兩個根，且．（Ⅰ）求數(shù)列的前項和；（Ⅱ）記，求證：．[解析]（Ⅰ），；所以；；（Ⅱ）由（Ⅰ）得；先證；因為，；所以；再證；；綜上。
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