數(shù)列與不等式證明方法歸納(解析版)(編輯修改稿)
2025-07-15 05:08 本頁面
【文章內容簡介】 調性；當時，；所以，所以；即數(shù)列是遞減數(shù)列；因為，故只須證，即證；因為故上不等式成立；綜上，原不等式成立。（3） 利用不動點定理求數(shù)列通項[典例1]已知函數(shù)，數(shù)列滿足，。（Ⅰ）求的取值范圍，使對任意的正整數(shù)，都有；（Ⅱ）若，求證：，[解析]（Ⅰ）因為（*），即，解得，所以；下證：時，恒有。因為，且，即與同號，所以恒有，由（*）得；綜上，；（Ⅱ）由不動點定點得與均是以為公比的等比數(shù)列；所以，所以，即不等式左端成立；又因為；累乘得，即不等式右端成立；綜上，[典例2]已知函數(shù)，數(shù)列滿足。（Ⅰ）求的實數(shù)解；（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使得對所有的都成立？證明你的結論；（Ⅲ）設數(shù)列的前項和為，證明：。[解析]（Ⅰ），；（Ⅱ）由（Ⅰ）及不動點定理得是以為首項，為公比的等比數(shù)列；所以，顯然，所以取奇數(shù)時有，取偶數(shù)時有，即存在實數(shù)，使得對所有的都成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）得；先證；只需證（為奇數(shù)），即，即；因為為奇數(shù)，上述不等式化為；因為；所以，成立，即不等式左端成立；再證；只需證，由（Ⅱ）得為偶數(shù)時，成立；為奇數(shù)時，即為奇數(shù)時，成立；所以，成立，即不等式右端成立；綜上。（4） 利用二次函數(shù)性質[典例]在正項數(shù)列中，，為的前項和，且（Ⅰ）比較與的大??；（Ⅱ）令，數(shù)列的前項和為。[解析]（Ⅰ）令，則有，所以，即，所以；（Ⅱ），所以。三、累加、累乘（1）累加法[典例1]已知數(shù)列，。（Ⅰ）求證：當時：；（Ⅱ）記，求證：。[解析]（Ⅰ）令，得（*）；又，兩式相減得，即與同號（**）；由（*）、（**）得；（Ⅱ）因為，所以累加得；即，即。[典例2]已知，數(shù)列的首項。（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：。[解析]（Ⅰ），所以；因為，所以，所以；（Ⅱ）由遞推關系可得，；所以（*）；又，得，即；所以（**）；結合（*）、（**），得。[典例3]已知數(shù)列滿足=且=（）（Ⅰ）證明：1（）；（Ⅱ）設數(shù)列的前項和為，證明（）.[解析]（Ⅰ）因為，所以，即數(shù)列遞減，所以；
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